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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

No. 169. S. 323. Fällt man in der Figur des Textes das Perpendikel Hk auf CA und setzt man Hk = bA = EC = y, Ck = x, also bH = Ak = AC — x; so wird BE² = BC² — CE² = AC² — y² und die Gleichung bH = $\scriptstyle {\frac {BE^{2}}{BC}}$ gebt über in AC — x = $\scriptstyle {\frac {AC{^{2}}-y^{2}}{AC}}$, d. h. in y² = AC · x, die Gleichung der Parabel. Ferner ist der Cubikinhalt des Paraboloïds = $\scriptstyle \int \limits _{0}^{AC}y^{2}\pi dx=\int \limits _{0}^{AC}AC\pi xdx$ = ½AC³ · π, dagegen der Inhalt des Cylinders = AC³ · π; also das Paraboloïd = ½ Cylinder.

No. 170. S. 323. Setzt man den Widerstand, welchen das Mittel gegen einen, über CEB zur Hohe OS construirten Cylinder ausüben würde, = p · CEB, wo p eine Constante ist; so hat man nach §. 45. den gegen den ganzen Kegel CBS ausgeübten Widerstand

1.   = p · CEB · $\scriptstyle {\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}$,

den gegen den kleinen Kegel FGS ausgeübten

2.   = p · FG · $\scriptstyle {\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}$,

endlich den gegen die Fläche FG ausgeübten Widerstand

3.   = p · FG.

Hiernach wird der, gegen den abgekürzten Kegel ausgeübte Widerstand

4.    = p · $\scriptstyle \left[{\frac {CO^{2}}{CS^{2}}}(CEB-FG)+FG\right]$

Setzt man nun CO = b, OD = a, DS = x, so wird CEB : FG = (a + x)² : x², also

5.   die Fläche FG = $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}$ · CEB

und ausserdem

6.   CS² = b² + (a + x)².

Nach §. 4. ist daher der Widerstand

= p · CEB $\scriptstyle \left[{\frac {b^{2}}{b^{2}+(a+x)^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right)+{\frac {x^{2}}{(a+x)^{2}}}\right]$,

und da p und CEB beide constant, so muss x so bestimmt werden, dass nach gehöriger Reduction

7.   F(x) = $\scriptstyle {\frac {b^{2}(b^{2}+x^{2})}{b^{2}+(a+x)^{2}}}$

ein Minimum werde. Wir erhalten demnach durch Differentiation

8.   F'(x) = $\scriptstyle {\frac {2b^{2}a\left[ax+x^{2}-b^{2}\right]}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {Z}{N}}$

Aus F'(x) = 0 oder Z = 0 folgt

9.    x = — ½a + $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$

also

QS = QD + DS = ½a + x = $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$ = CQ.

Ferner wird aus 8., weil Z = 0,

10.   F"(x) = $\scriptstyle {\frac {dZ}{N}}={\frac {2b^{2}a(a+2x)}{\left[b^{2}+(a+x)^{2}\right]^{2}}}={\frac {4b^{2}a{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}{\left[b^{2}+\left({\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}\right)^{2}\right]^{2}}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 609. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/617&oldid=- (Version vom 1.8.2018)