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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

beim Falle von der Tangente HN in derselben Zeit beschreiben könnte. Nennt man jene kleine Zeit τ so ist $\scriptstyle \tau =\alpha {\sqrt {NJ}}$, wo α constant. Die Geschwindigkeit, womit HJ beschrieben wird, ist daher

$\scriptstyle {\frac {HJ}{\tau }}={\frac {\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}}{\alpha {\sqrt {NJ}}}}={\frac {\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}}{\alpha \xi {\sqrt {R}}}}$, d. h. proportional $\scriptstyle {\frac {\sqrt {1+Q^{2}}}{\sqrt {R}}}$ und ihr Quadrat proportional $\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}$.

Bezeichnet man ξ durch Δx, so wird nach dem Taylor’schen Satze die obige Reihe allgemein:

$\scriptstyle y+{\frac {dx}{dx}}\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\Delta x^{2}+{\frac {1}{2\cdot 3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\Delta x^{3}+$ etc.

also $\scriptstyle Q={\frac {dy}{dx}}$, $\scriptstyle R={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}$, $\scriptstyle S={\frac {1}{2\cdot 3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ die Dichtigkeit des Mittels proportional $\scriptstyle {\frac {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}{{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}}}={\frac {d^{3}y}{d^{2}y{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}$.

No. 115. S. 255. Die hier im Text erwähnte Methode besteht offenbar in der Anwendung des binomischen Lehrsatzes. Es wird also

$\scriptstyle {\sqrt {y^{2}-2x\xi -\xi ^{2}}}=\left(y^{2}-2x\xi -\xi ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ $\scriptstyle =y-{\frac {1}{2}}{\frac {2x\xi }{y}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\xi ^{2}}{y}}+{\frac {{\frac {1}{2}}\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)}{1\cdot 2}}{\frac {1}{y^{3}}}\left(2x\xi +\xi ^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{16}}\cdot {\frac {1}{y^{5}}}\left(2x\xi +\xi ^{2}\right)^{3}\dots$ $\scriptstyle =y-{\frac {x\xi }{y}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\xi ^{2}}{y}}-{\frac {x^{2}\xi ^{2}}{2y^{3}}}-{\frac {x\xi ^{3}}{2y^{3}}}-{\frac {\xi ^{4}}{8y^{3}}}-{\frac {x^{3}\xi ^{3}}{2y^{5}}}\dots$

Fig. 247.

No. 116. S. 257. Setzt man FA = X, AQ = Y, FG = x, GJ = y, wo JG $\scriptstyle \parallel$ AQ; so hat man Y² = bX, y² = bx mithin Y² - y² = (Y + y) (Y - y) = b(X — x) oder PD · QD = b · JD. Hierbei ist der Parameter b constant.

No. 117. S. 258. Dieses Verhältniss ist nach der obigen Regel 13 §. 14. für den Punkt g, wo ξ = 0, 3S · $\scriptstyle {\sqrt {1+Q^{2}}}:4R^{2}=$

$\scriptstyle 3{\frac {b^{2}}{a^{4}}}{\sqrt {1+\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {m}{n}}\right)^{2}}}:4{\frac {b^{4}}{a^{6}}}$ $\scriptstyle 3{\sqrt {a^{2}+{\frac {m^{2}}{n^{2}}}a^{2}-{\frac {2mb^{2}}{n}}+{\frac {b^{4}}{a^{2}}}}}:4{\frac {b^{2}}{a}}$ = 3XY : 4VG = 3XY : 2YG.

No. 118. S. 258. Dieser Parameter ist nämlich nach §. 14.

$\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}={\frac {{\frac {1}{a^{2}}}\cdot XY^{2}}{\frac {b^{2}}{a^{3}}}}={\frac {XY^{2}}{VG}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 600. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/608&oldid=- (Version vom 1.8.2018)