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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

No. 109. S. 250. Aus AP² = AC · AK, folgt, weil AC constant ist, 2AP · d · AP = AC · d · AK   d. h. 2AP · PQ = AC · KL oder KL : PQ = 2AP : AC.

No. 110. S. 253. (Fig. 144.) Da HJ² = HM² + MJ² und HN² = HM² + (MJ — JN)² so wird $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)^{2}={\frac {HM^{2}+MJ^{2}-2MJ\cdot JN+JN^{2}}{HM^{2}+MJ^{2}}}=1-{\frac {JN\ (2MJ-JM)}{HJ^{2}}}$; $\scriptstyle \left({\frac {HN}{HJ}}\right)=1-{\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {JN^{2}}{HJ^{2}}}$, und weil JN sehr klein ist $\scriptstyle 1-{\frac {HN}{HJ}}={\frac {MJ\cdot JN}{HJ^{2}}}$ oder HJ — HN = $\scriptstyle {\frac {MJ\cdot JN}{HJ}}$.

No. 111. S. 253. Es ist beliebig MJ = Qξ + Rξ² + Sξ³ .... angenommen worden, hieraus folgt unmittelbar, weil NJ = MJ — MN und MN = Qξ ist, NJ = Rξ² + Sξ³ + etc.

Der Werth von MJ gilt allgemein für jeden Werth von ξ, mithin wird der entsprechende Werth in E für ξ = 2ξ 2Qξ + 4Rξ² + 8Sξ³ etc. in B für E = — ξ, — Qξ + Rξ² — Sξ³ und so DJ = CH — MJ = P — Qξ — Rξ² — Sξ³; EK = CH — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. = P — 2Qξ — 4Rξ² — 8Sξ³ — etc. BG = P + Qξ — Rξ² + Sξ³ — etc.

No. 112. S. 254. Nach Gl. 12. und 10. ist (Fig. 144.) $\scriptstyle {\frac {t}{T}}$ · GH =

$\scriptstyle \left(1+{\frac {3S\xi }{2R}}\right)\left(\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\right)$ $\scriptstyle =\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {3S\xi ^{2}{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}-{\frac {3QS\xi ^{3}}{2{\sqrt {1+Q^{2}}}}}$

nach Gl. 10. $\scriptstyle -HJ=-\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}$ nach Gl. 8. 9. und 10.

$\scriptstyle +{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{HJ}}={\frac {2\left[Q\xi +R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\dots \right]\cdot \left[R\xi ^{2}+S\xi ^{2}\dots \right]}{\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {2QR\xi ^{3}+2QS\xi ^{4}+\dots }{\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}}}=+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}+\dots$

mithin $\scriptstyle {\frac {t}{T}}GH-HJ+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{HJ}}={\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}\dots$ und nach 6. der Widerstand : Schwere $\scriptstyle {\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}:2R\xi ^{2}=3S{\sqrt {1+Q^{2}}}:4R^{2}$.

No. 113. S. 254. Für CH als Durchmesser ist nämlich NJ = x die Abscisse, HN = y die Ordinate, und da allgemein die Gleichung der Parabel y² = px ist, $\scriptstyle p={\frac {y^{2}}{x}}={\frac {HN^{2}}{NJ}}={\frac {\xi ^{2}\left(1+Q^{2}\right)}{R\cdot \xi ^{2}}}={\frac {1+Q^{2}}{R}}$.

No. 114 S. 254. Im Anfang dieses Paragraphen haben wir gesehen, dass die Zeit, in welcher der Körper den Bogen $\scriptstyle \xi {\sqrt {1+Q^{2}}}$ beschreibt, im halben Verhältniss der Höhe NJ steht, welche der Körper

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 599. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/607&oldid=- (Version vom 1.8.2018)