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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Kreisfläche zur elliptischen, d. h. wie TK : TH, oder weil nach 1. TH² = TS · TK, wie

9.     TH : TS.

Zweiter Satz. Die mittlere Bewegung der Mondsknoten ist gegeben; man soll ihre wahre Bewegung finden.

Es sei der Winkel A der Abstand der Sonne vom mittleren Orte des Knotens, oder die mittlere Bewegung der Sonne vom Knoten ab. Man nehme den Winkel B so an, dass man habe

10.     tgB : tgA = TH : TK (Fig. 199.)

d. h. im halben Verhältniss der mittleren stündlichen Bewegung der Sonne zu ihrer mittleren stündlichen Bewegung von dem in den Quadraturen befindlichen Knoten ab.^[1] Alsdann wird der Winkel B der Abstand der Sonne vom wahren Orte des Knotens sein. Zieht man nämlich FT, so wird der Winkel FTN, nach dem Beweise des vorhergehenden Satzes, der Abstand der Sonne vom mittleren Orte des Knotens, der Winkel ATN ihr Abstand vom wahren Orte sein und

11.     tgFTN : tgATN = TK : TH.

Zusatz. Der Winkel FTA ist also die Gleichung der Mondknoten, und der Sinus dieses Winkels, wenn er in den Octanten am grössten ist, verhält sich zum Radius, wie KH : TK + TH. In einem anderen beliebigen Orte A verhält sich der Sinus dieser Gleichung zum grössten Sinus, wie sin (FTN + ATN) : Radius, d. h. fast wie

12.     sin 2 FTN : Radius

oder wie der Sinus des doppelten Winkelabstandes der Sonne vom mittleren Orte des Knotens zum Radius.^[2]

Anmerkung. Ist die mittlere stündliche Bewegung der Knoten in den Quadraturen = 16″,3, d. h. in einem ganzen siderischen Jahre = 39° 38′ 7″,8; so hat man TH : TK = $\scriptstyle {\sqrt {9,0827646}}:{\sqrt {10,0827646}}$ = 18,6524761 : 19,6524761 ferner

13.     TH : HK = 18,6524761 : 1

d. h. wie die Bewegung der Sonne in einem siderischen Jahre zur mittleren Bewegung des Knotens = $\scriptstyle {\frac {360^{\circ }}{18,6524761}}$ = 19° 18′ 1″,4.

Wenn aber die mittlere Bewegung der Mondsknoten in 20 Julianischen Jahren 386° 50′ 15″ beträgt, wie man aus den in der Theorie des Mondes benutzten Beobachtungen findet; so wird die mittlere Bewegung derselben in einem siderischen Jahre = 19° 20′ 32″,0 und wir haben

14.     TH : HK = 360° : 19° 20′ 32″,0 = 18,61214 : 1.

Hieraus erhält man die stündliche Bewegung der Knoten in den Quadraturen = 16″,3 und ihre grösste Gleichung in den Octanten = 1° 29′ 57″.^[3]

§. 38. Aufgabe. Man soll die stündliche Aenderung der Neigung der Mondbahn gegen die Ebene der Ekliptik bestimmen.

Es seien A und a die Syzygien, Q und q die Quadraturen, N und n die Knoten, P der Ort des Mondes in seiner Bahn, p die Projection dieses Ortes auf die Ebene der Ekliptik und mTl die augenblickliche Bewegung

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1. No. 264. S. 438. (Fig. 199.) Nach 1. wird nämlich TH : TK = $\scriptstyle {\sqrt {TS}}:{\sqrt {TK}}$.
2. No. 265. S. 438. (Fig. 199.) Setzet man, wie in Bem. 264. BG = y, FG = Y, TG = x, ferner $\scriptstyle \angle$ FTG = β und $\scriptstyle \angle$ FTB = α – β = γ; so ist allgemein tang α = $\scriptstyle {\frac {Y}{x}}$, tang β = $\scriptstyle {\frac {y}{x}}$, tang γ = $\scriptstyle {\frac {Yx-yz}{x^{2}+Yy}}$. Wenn aber HT = b und KT = a gesetzt wird, ist Y = $\scriptstyle {\frac {a}{b}}$y und y² = $\scriptstyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}$(a² – x²), also tang γ = b(a – b)$\scriptstyle {\frac {x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}b^{2}+b(a-b)x^{2}}}$. Bezeichnet man nun die, dem grössten Werthe von γ entsprechenden Werthe durch einen Accent, so folgt aus d · tang γ = o, a²b (a + b)x'² = o, also x' = a$\scriptstyle {\sqrt {\frac {b}{a+b}}}$, y' = b$\scriptstyle {\sqrt {\frac {b}{a+b}}}$, Y' = a$\scriptstyle {\sqrt {\frac {a}{a+b}}}$, tang α' = $\scriptstyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}$, tang β' = $\scriptstyle {\sqrt {\frac {b}{a}}}$, tang γ' = $\scriptstyle {\frac {a-b}{2{\sqrt {ab}}}}$. Ferner tang α' · tang β' = 1, also α' = 90° – β', $\scriptstyle {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}$ = 45° endlich tang γ' = $\scriptstyle {\frac {(a-b)x'y'}{ba'^{2}+ay'^{2}}}$, sin (α' – β') = $\scriptstyle {\frac {a-b}{ab}}\cdot {\frac {x'y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$. Eben so aus tang (α + β) = $\scriptstyle {\frac {(a+b)xy}{ba^{2}-ay^{2}}}$, sin (α' + β') = $\scriptstyle {\frac {a+b}{ab}}\cdot {\frac {x'y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$ und so sin (α' – β') : sin (α' + β') = a – b : a + b = $\scriptstyle {\frac {a-b}{a+b}}$ : 1 = sin γ' : 1.
3. No. 266. S. 438. Die mittlere tägliche Bewegung der Sonne ist = 59′8,″3, daher ihre mittlere stündliche Bewegung Δ ☉ = 147″,8. Setzen wir ferner die mittlere stündliche Bewegung der Knoten in den Quadraturen = Δ ♌^(q); so haben wir nach Anmerkung 1. Erster Fall, TS : SK = Δ ☉ : Δ ♌^(q). Aus der Proportion TH : TK = $\scriptstyle {\sqrt {8,0827646}}:{\sqrt {10,0827646}}$ folgt aber mittelst Gl. 1.     TS : TK = 9,0827646 : 40,0827646, TS : SK = 9,0827646 : 1, also Δ ♌^(g) = $\scriptstyle {\frac {\Delta \odot }{9,0827646}}$ = 16″3. Nach der vorhergehenden Bem. 265. haben wir sin γ' = $\scriptstyle {\frac {a-b}{a-b}}$ und da a = KT, b = HT und TK : TH = 19,6524761 : 18,6524761 sin γ' = 1/38,3049522, γ' bedeutet aber nach der vorigen Bemerkung die grösste Bewegung des Knotens in den Octanten, und bezeichnen wir diese stündliche Bewegung durch Δ ♌^(o), so haben wir Δ♌^(o) = 1° 29′ 45″ ein wenig von dem Werthe im Texte abweichend.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 438. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/446&oldid=- (Version vom 1.8.2018)