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zwischen diesen Kreisen zur mittleren Dichtigkeit des obigen Mittels zwischen denselben Kreisen. In demselben Verhältniss stehe dann ferner die Secante des Winkels, unter welchem die oben behandelte Spirallinie im dortigen Mittel den Radius AS schneidet, zur Secante desselben Winkels im neuen Mittel. Endlich setze man auch noch voraus, dass die Anzahl aller Umläufe zwischen denselben zwei Kreisen sich sehr nahe verhalten, wie die Tangenten derselben Winkel. Findet dies zwischen je zwei Kreisen statt, so wird auf diese Weise auch die Bewegung zwischen allen Kreisen fortgesetzt werden.

Wir könnten uns eben so leicht vorstellen, wie und in welchen Zeiten die Körper sich in jedem regulären Mittel werden bewegen müssen.

Zusatz 9. Wenn auch die excentrischen Bewegungen auf Spirallinien erfolgen, welche sich der ovalen Form nähern, so kann man doch annehmen, dass die einzelnen Umläufe solcher Spiralen gegenseitig um dieselben Intervalle von einander abstehen und sich in demselben Grade dem Centrum nähern, wie in der oben beschriebenen Spirallinie. Auf diese Weise sehen wir daher ein, wie die Bewegung der Körper in derartigen Spirallinien erfolgt.

§. 22. Lehrsatz. Verhält sich die Dichtigkeit in den einzelnen Orten umgekehrt wie der Abstand derselben vom Centrum, und die Centripetalkraft umgekehrt wie irgend eine Potenz desselben Abstandes; so kann der Körper sich in einer Spirallinie bewegen, welche alle vom Centrum aus gezogenen Radien unter gegebenem Winkel schneidet.

Der Beweis wird eben so, wie im vorhergehenden Satze geführt. Verhält sich nämlich die Centripetalkraft in P umgekehrt wie

Spn+1

so schliesst man wie oben, dass die Zeit, in welcher der Körper den beliebigen Bogen PQ beschreibt, sich verhalte wie

PQ : SP½n.

Der Widerstand in P ist proportional

d. h. umgekehrt SPn+1.

Da nun die Geschwindigkeit sich umgekehrt wie SP½n verhält, so wird die Dichtigkeit in P sich umgekehrt wie SP verhalten.[1]

Zusatz 1. Der Widerstand verhält sich zur Centripetalkraft, wie

(1 — ½n) OS : OP.

Zusatz 2. Wenn die Centripetalkraft umgekehrt SP³ proportional ist, so wird 1 — ½n = 0, also der Widerstand und die Dichtigkeit beide = 0, wie im ersten Buche, §. 25.

Zusatz 3. Wenn die Centripetalkraft umgekehrt SPn proportional ist, wo n > 3, so geht der positive Widerstand in einen negativen über.


  1. [603] No. 141. S. 280. Die Centripetalkraft ist proportional , ferner das Stück TQ proportional · t² (wie in §. 22., wo t die Zeit bezeichnet), also t umgekehrt proportional (§. 20.) = PQ · SP½n. Ferner der Widerstand in P proportional . Da nun PQ : QR = und PQ : Qr = QS : SP, so wird PQ : Rr = QS : [604] Es ist aber PS = QS + VQ und = [QS½n + ½nQS½n-1 VQ + ....] QS1-½n = QS + ½nVQ + etc. Je kleiner nun VQ wird, desto eher wird man die folgenden höheren Potenzen gegen die erste vernachlässigen können. Es ergiebt sich also zuletzt PS — = QS + VQ — QS — ½nVQ = (1 — ½n)VQ. Der Widerstand wird hiernach proportional , indem man QS = PS setzt. Da nun auch der Widerstand proportional Dichtigkeit, so wird die Dichtigkeit proportional SPn Widerstand, also .
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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 280. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/288&oldid=- (Version vom 1.8.2018)