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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

oder wie die Tangente des Winkels, welchen die Spirallinie mit dem Radius PS bildet. Die Zeit derselben Umläufe verhält sich aber wie

OP : OS,

d. h. wie die Secante jenes Winkels, oder umgekehrt wie die Dichtigkeit des Mittels.^[1]

Fig. 162.

Zusatz 7. Ein Körper bewegt sich in einem Mittel, dessen Dichtigkeit sich umgekehrt wie der Abstand vom Centrum verhält, auf einer beliebigen Curve AEB am jenes Centrum herum und schneidet den ersten Radius AS in B unter demselben Winkel, wie früher in A. Die Geschwindigkeit in B verhält sich zur ersten in A umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus den Abständen vom Centrum, d. h. wie

$\scriptstyle {\sqrt {AS}}:{\sqrt {BS}}$.

Alsdann wird der Körper fortfahren, unzählige ähnliche Umläufe BFC, CGD etc, auszuführen und in den Durchschnittspunkten den Radius AS in stetig proportionale Stücke

AS, BS, CS, DS etc.

theilen. Die Umlaufszeiten werden sich verhalten direct wie die Umfänge der Bahnen

AEB, BFC, CGD, etc.

und indirect wie die Geschwindigkeiten in den Anfangspunkten

A, B, C, etc.

d. h. wie

AS^3/2, BS^3/2, CS^3/2, etc,

Ferner verhält sich die ganze Zeit, innerhalb welcher der Körper zum Centrum gelangt, zur Zeit des ersten Umlaufes, wie

AS^3/2 + BS^3/2 + CSV^3/2 + in infin. : AS^3/2

d. h. wie

ASV^3/2 : AS^3/2 — BS^3/2

oder sehr nahe wie

⅔AS : AB.^[2]

Hieraus findet man leicht jene ganze Zeit.

Zusatz 8. Hiernach kann man auch beiläufig die Bewegung der Körper in solchen Mitteln, deren Dichtigkeit entweder gleichförmig ist, oder irgend ein anderes gegebenes Gesetz beobachtet, erschliessen.

Man beschreibe nämlich aus dem Mittelpunkte S, mit den stetig proportionalen Radien AS, BS, CS etc. beliebig viel Kreise und setze voraus, dass die Zeit der Umläufe zwischen den Peripherieen zweier beliebiger von diesen Kreisen, in dem oben behandelten Mittel, sich sehr nahe verhalte zur Zeit der Umläufe zwischen denselben Peripherieen in dem hier aufgestellten Mittel, wie die mittlere Dichtigkeit des neuen Mittels

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1. No. 139. S. 279. Das Verhältniss PS : OS ist nach dem Lehrsatz = PV : VQ. In so fern nun $\scriptstyle \angle$ PSV sehr klein ist, wird PV gleich dem aus S mit SP geschlagenen Bogen, und daher jenem Winkel proportional, während VQ die entsprechende Annäherung des Körpers zum Centrum S bezeichnet. Hieraus ergiebt sich, wenn der Winkel, welchen der Körper beschreiben muss, um von der einen Peripherie zur andern zu gelangen, durch α und der Abstand beider Peripherien durch a bezeichnet wird, α : PSV =a : VQ oder α = a ·$\scriptstyle {\frac {PSV}{VQ}}$ = a$\scriptstyle {\frac {VP}{VQ}}$ = a$\scriptstyle {\frac {PS}{OS}}$. Das Verhältniss OP : OS ergiebt sich als der Zeit proportional unmittelbar aus Zusatz 5.
2. No. 140. S. 279. (Fig. 162.) Da nämlich AS : BS = BS : CS = CS : DS = etc. so wird auch AS^3/2 : BS^3/2 = BS^3/2 : CS^3/2 = CS^3/2 : DS^3/2 = etc. Setzt man nun etwa $\scriptstyle {\frac {AS^{\frac {3}{2}}}{BS^{\frac {3}{2}}}}$ = q, so wird AS^3/2 + BS^3/2 + CS^3/2 + DS^3/2 + .... in inf. = $\scriptstyle AS^{\frac {3}{2}}\left[1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+\dots \ in\ inf.\right]$

   und so

   AS^3/2 + BS^3/2 + CS^3/2 ... in inf. : AS^3/2 = q : q — 1 = AS^3/2 : AS^3/2 — BS^3/2 = AS^3/2 : AS^3/2 — (AS — AB)^3/2 = AS^3/2 : AS^3/2 — AS^3/2 + 3/2$\scriptstyle {\sqrt {AS}}$ · AB ... = AS : 3/2>AB = ⅔AS : AB

   um so näher, je kleiner AB ist, indem alsdann die höhern Potenzen von AB vernachlässigt werden können.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 279. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/287&oldid=- (Version vom 12.5.2018)