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Zusatz 2. Die Dichtigkeit des Mittels ist, wenn der Abstand SP gegeben ist, proportional

.

Ist der Abstand nicht gegeben, so wird sie proportional

.

Hiernach kann also die Spirallinie jeder Dichtigkeit des Mittels angepasst werden.

Zusatz 3. Die Kraft des Widerstandes an jedem Orte P verhält sich zur Centripetalkraft in demselben, wie

½OS : OP.

Jene Kräfte sind nämlich respective proportional den Linien

½Rr = und ,

welche sie in derselben Zeit erzeugen. Sie verhalten sich daher auch zu einander, indem man QS = PS setzt, wie

½VQ : PQ oder wie ½OS : OP.

Ist daher die Spirallinie gegeben, so kennt man auch das Verhältniss des Widerstandes zur Centripetalkraft, und umgekehrt ergiebt sich aus diesem Verhältniss die Spirallinie.

Zusatz 4. Der Körper kann sich daher nur dann auf dieser Spirallinie bewegen, wenn die Kraft des Widerstandes kleiner ist, als die Hälfte der Centripetalkraft. Wird der Widerstand gleich der halben Centripetalkraft, so fällt die Spirale mit der geraden Linie PS zusammen,[1] und es bewegt sich der Körper auf der derselben nach dem Centrum hin mit derjenigen Geschwindigkeit, welche sich zu der Geschwindigkeit im nicht widerstehenden Mittel für den Fall einer Parabel wie

1 :

verhält. (Erstes Buch, §. 24.) Die Zeiten des Herabsteigens verhalten sich daher umgekehrt wie die Geschwindigkeiten und sind demnach constant.

Zusatz 5. Da in gleicher Entfernung vom Centrum die Geschwindigkeit auf der Spirale PQR und der geraden Linie SP dieselbe ist und da die Länge der Spirale zu der der geraden Linie in dem constanten Verhältniss

OP : OS[2]

steht; so wird die Zeit des Herabsteigens auf jener zur Zeit des Herabsteigens auf dieser in demselben constanten Verhältniss stehen. Erstere ist daher constant.

Zusatz 6. Werden aus dem Mittelpunkte S mit zwei gegebenen Radien Kreise beschrieben, und ändert sich bei denselben beliebig der Winkel, welchen die Spirale mit dem Radius PS bildet; so verhält sich die Zahl der Umläufe, welche der Körper zwischen den Peripherien beider Kreise vollenden kann, wie

PS : OS,

  1. [603] No. 137. S. 278. Es wird alsdann ½VQ = ½PQ oder VQ = PQ. Der Körper nähert sich daher dem Centrum um eben so viel, als er sich fortbewegt. Die Bewegung erfolgt demnach längs PS.
  2. [603] No. 138. S. 278. Dies Verhältniss ist mit dem PQ : VQ identisch. (Gl. 8.)
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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 278. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/286&oldid=- (Version vom 1.8.2018)