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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

annimmt, dass die absoluten Kräfte

AC, iC, kC, lC, etc.

stetig proportional sind.

Nimmt man demnach alle Wege beim Auf- und Absteigen einander gleich an, so werden auch alle absoluten Kräfte

lC, kC, iC, AC, JC, KC, LC etc.

stetig proportional. W. z. b. w.

Zusatz 1. Wird daher der beschriebene Weg durch die hyperbolische Fläche ABNK bezeichnet, so können die Kraft der Schwere, die Geschwindigkeit des Körpers und der Widerstand des Mittels respective durch die Linien

AC, AP und AK

ausgedrückt werden und umgekehrt.

Zusatz 2. Die grösste Geschwindigkeit, welche der Körper jemals erlangen kann, indem er in’s Unendliche fort absteigt, wird durch die Linie AC ausgedrückt.

Zusatz 3. Kennt man bei irgend einer gegebenen Geschwindigkeit den Widerstand des Mittels, so findet man die grösste Geschwindigkeit, indem man sie zu jener gegebenen in demjenigen halben Verhältniss annimmt, welches die Kraft der Schwere zum bekannten Widerstände des Mittels hat.^[1]

§. 13. Lehrsatz. Nimmt man unter der Voraussetzung des eben Bewiesenen an, dass die Tangenten der Winkel des Kreissectors und des hyperbolischen Sectors den Geschwindigkeiten proportional gesetzt werden, wobei der Radius die richtige Grösse hat; so wird die ganze Zeit des zukünftigen Aufsteigens zum höchsten Orte dem Kreissector, die Zeit des verflossenen Absteigens vom höchsten Orte dem hyperbolischen Sector proportional.

Auf die gerade Linie AC, welche die Kraft der Schwere ausdrückt, errichte man das Perpendikel AD und mache

AD = AC.

Aus D als Mittelpunkt schlage man mit dem Halbmesser AD den Kreisquadranten AtE und die rechtwinklige Hyperbel AVZ, deren Axe AX, Hauptscheitelpunkt A und Asymptote CD sei. Man ziehe Dp und DP, und es verhält sich alsdann der Kreissector AtD wie die Zeit des ganzen zukünftigen Aufsteigens zum höchsten Orte, der hyperbolische Sector ATD hingegen wie die Zeit des ganzen verflossenen Absteigens vom höchsten Orte; wenn nur die Tangenten Ap und AP der Sectoren den Geschwindigkeiten proportional sind.

1. Fall. Man ziehe nämlich die Linie Dvq, welche vom Sector ADt und Dreieck ADp Momente oder sehr kleine, zugleich beschriebene Theilchen tDv und pDq abschneidet. Da jene Theilchen, wegen des gemeinschaftlichen Winkels D, im doppelten Verhältniss der Seiten stehen^[2], so ist das Theilchen tDv proportional

\scriptstyle {\frac {qDp}{pD^{2}}}

· tD²,

↑ [598] No. 106. S. 248. Aus AC : AP = $\scriptstyle {\sqrt {AC}}:{\sqrt {AK}}$ (Fig. 142.) folgt nämlich, wie im §. 12., Lehrsatz AP = $\scriptstyle {\sqrt {AC\cdot AK}}$ .
↑ [598] No. 107 S. 248. Eigentlich haben wir (Fig. 143.) ADv : pDq = Dt Dv : Dp Dq — Dt²: Dp · Dq. Da aber Dp und Dq nur wenig von einander verschieden sind, kann man ADv = $\scriptstyle {\frac {pDq}{Dp^{2}}}$ · Dt² setzen.

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 248. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/256&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [598] No. 106. S. 248. Aus AC : AP = $\scriptstyle {\sqrt {AC}}:{\sqrt {AK}}$ (Fig. 142.) folgt nämlich, wie im §. 12., Lehrsatz AP = $\scriptstyle {\sqrt {AC\cdot AK}}$ .

[2] [598] No. 107 S. 248. Eigentlich haben wir (Fig. 143.) ADv : pDq = Dt Dv : Dp Dq — Dt²: Dp · Dq. Da aber Dp und Dq nur wenig von einander verschieden sind, kann man ADv = $\scriptstyle {\frac {pDq}{Dp^{2}}}$ · Dt² setzen.

[1]

[2]