Seite:NewtonPrincipien.djvu/169

	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Ferner verhält sich die Geschwindigkeit des Pendels im Punkte T zu der im untersten Punkte R (d. h. die Geschwindigkeit des Körpers H im Punkte L zu derjenigen, weiche er im Punkte G hat, oder das augenblickliche Increment der Linie HL zu dem der Linie HG, wenn die Bogen HJ und HK mit gleicher Geschwindigkeit zunehmen) wie

JL : GK, oder wie $\scriptstyle {\sqrt {SR^{2}-TR^{2}:SR}}$.^[1]

Da nun bei ungleichen Schwingungen in gleichen Zeiten Bogen beschrieben werden, welche den ganzen Schwingungsbogen proportional sind; so erhält man aus den gegebenen Zeiten sowohl die Geschwindigkeiten, als auch die beschriebenen Bogen.

2. Es mögen nun Pendel in ungleichen Cycloïden schwingen, welche zwischen verschiedenen Kugeln beschrieben sind, und ihre absoluten Kräfte ebenfalls verschieden sein. Die absolute Kraft, welche der beliebigen Kugel QOS entspricht, werde V genannt; alsdann wird die beschleunigende Kraft, durch welche das Pendel auf dem Umfange dieser Kugel angetrieben wird, indem es anfängt, sich direct gegen das Centrum zu bewegen, dem Abstände der Linse von jenem Centrum und der absoluten Kraft zusammengenommen, d. h.

CO · V

proportional sein. Die Linie HY, welche dieser beschleunigenden Kraft

CO · V

proportional ist, wird daher in der gegebenen Zeit beschrieben, und wenn man das Perpendikel YZ errichtet, welches die Peripherie in Z schneidet; so bezeichnet der entstehende Bogen HZ jene Zeit. Dieser Bogen ist aber proportional

$\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot HY}}$, d. h. $\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot CO\cdot V}}$.^[2]

Daher wird die Zeit der ganzen Schwingung in der Cycloïde QRS (da sie direct der halben Peripherie HKM, welche jene ganze Schwingung bezeichnet und indirect dem Bogen HZ, welcher eine gegebene Zeit bezeichnet, proportional ist),

direct

dem Halbmesser GH und

indirect

$\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot CO\cdot V}}$,

d. h. weil

GH = SR $\scriptstyle {\sqrt {\frac {SR}{CO\cdot V}}}$ oder (nach §. 91. Zusatz) $\scriptstyle {\sqrt {\frac {AR}{AC\cdot V}}}$

proportional sein.

Die Schwingungen, welche in Kugeln und Cycloïden bei beliebigen absoluten Kräften erfolgen, stehen daher in einem Verhältniss, welches aus dem halben directen der Fadenlänge, dem halben indirecten der Entfernung des Anfangspunktes vom Centrum und den halben indirecten Verhältniss der absoluten Kraft zusammengesetzt ist.

---

1. No. 46. S. 161. Setzt man den Bogen JH = s, LH = x (Fig. 95.) und nimmt man an, dass JH und KH um gleiche Incremente ds wachsen, so erhält man aus x = r — r cos s, wo der Radius durch r bezeichnet ist, und durch Differentiation 1.   dx = r sin s · ds.

   Ferner setze man den Quadranten HK = X, alsdann wird nach 1.

   2.   dX = rds, weil jetzt s = 90°.

   und so nach 1. und 2. dx : dX = r sin s : r = JL : GK. Da nun GK = GH = SR, GL = TR, und JL = $\scriptstyle {\sqrt {GJ^{2}-GL^{2}}}={\sqrt {SR^{2}-TR^{2}}}$.

   3.   dx : dX = $\scriptstyle {\sqrt {SR^{2}-TR^{2}}}$ : SR.
2. No. 47. S. 161. Vorausgesetzt, dass HY und HZ als sehr klein angesehen werden dürfen, kann man den letzteren statt seiner Sehne setzen, und es ist HZ² = HY · MH = 2GH · HY, also HZ = $\scriptstyle {\sqrt {2GH\cdot HY}}$ oder proportional $\scriptstyle {\sqrt {GH\cdot HY}}$.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 161. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/169&oldid=- (Version vom 1.8.2018)