mithin
Nach 3. und 4. wird also
wo
| Ferner ist nach §. 90., Zusatz 1. 7. d. h. nach §. 90., Zusatz 2. |
Bleibt daher umgekehrt die Länge des Fadens immer = AR, so bewegt sich der Punkt T auf der Cycloïde QRS. W. z. b. w.
Zusatz. Der Faden AR ist gleich dem halben cycloïdischen Bogen APS und hat daher zum Radius AC der äussern Kugel dasselbe Verhältniss, welches die ihm ähnliche Cycloïde SR zum Radius CO der innern Kugel hat.
§. 92. Lehrsatz. Wenn die überall nach dem Mittelpunkte C der Kugel gerichtete Centripetalkraft in den einzelnen Orten den Abständen dieser vom Mittelpunkte proportional ist, und der Körper T, lediglich in Folge dieser Kraft, nach der eben beschriebenen Weise auf der Cycloïde QRS schwingt; so sind die Zeiten beliebiger ungleicher Schwingungen einander gleich.
Auf die unbestimmt verlängerte Tangente TW der Cycloïde fälle man das Perpendikel CX und ziehe CT. Da die Centripetalkraft, welche den Körper T gegen C hinzieht, dem Abstande CT proportional ist, so zerlege man erstere (nach Gesetze, Zusatz 2.) in die Seitenkräfte CX und TX. Die erstere von diesen treibt den Körper direct von P fort, und spannt so den Faden an, wird jedoch durch den Widerstand des letztern ganz aufgehoben. Die zweite treibt den Körper transversal gegen X, und beschleunigt direct seine Bewegung in der Cycloïde. Offenbar verhält sich die, dieser beschleunigenden Kraft proportionale, Beschleunigung in den einzelnen Momenten, wie die Länge TX, d. h. weil
und CV = CO, VW = OR, also beide constant, wie TW, oder (nach §. 90, Zusatz 1.) wie der Bogen TR.
Bei zwei Pendeln APT und Apt, welche ungleichweit vom Perpendikel AR entfernt und zugleich losgelassen werden, sind ihre Beschleunigungen stets den zu durchlaufenden Bogen TR und tR proportional. Die im Anfange beschriebenen Theile verhalten sich aber wie die Beschleunigungen, d. h. wie die ganzen im Anfange zu beschreibenden Bogen; deshalb verhalten sich auch die übrig bleibenden Theile und die folgenden, diesen Theilen proportionalen, Beschleunigungen ebenfalls wie die ganzen Wege, u. s. w. f.
Es verhalten sich demnach die Beschleunigungen, also auch die erzeugten Geschwindigkeiten, ferner die mit diesen Geschwindigkeiten beschriebenen Theile und endlich die noch zu beschreibenden Theile stets wie die ganzen Bogen.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 159. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/167&oldid=- (Version vom 12.5.2018)
