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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

VP Tangente an der Curve im Punkte P.^[1] Wird der Radius des Bogens noch merklich vergrössert oder verkleinert, so wird er gleich CP, und da die verschwindende Figur

1.   Pn omq ∼ PFG VJ;

so wird das letzte Verhältniss der verschwindenden Linien

Pm, Pn, Po, Pq,

d. h. das Verhältniss der gleichzeitigen Incremente von

AP, CP und $\scriptstyle \frown$ BP

und das Decrement von

VP,

respective identisch mit dem Verhältniss der Linien

PV, PF, PG, PJ.

Da aber VF perpendikulär auf CF, und ebenfalls VH senkrecht auf VC und so

$\scriptstyle \angle$ HVG = VCF ist;

da ferner (weil im Viereck HVEP, $\scriptstyle \angle$ V = P = 90°)

$\scriptstyle \angle$ VHP = 180° — VEP = CEP:

so ist

2.   Δ VHG ∼ CEP.

Wir haben daher die Proportion

EP : CE = HG : HV = HG : HP = KJ : KP,

und hieraus, weil

EP = EB, CE — BE : CE = JP : PK CB : CE = JP : KP

oder auch

3.   CB : 2 CE = JP : PV = Pq : Pm.

Es verhält sich daher das Decrement der Linie VP, d. h. das Increment von BV — VP,^[2] zum Increment der Curve AP constant wie

CB : 2 CE;

deshalb stehen (nach §. 4., Zusatz) die durch dieselben erzeugten Längen BV — VP und AP in demselben Verhältniss. Für BV als Radius ist aber

VP = cos BVP = cos ½BEP,

mithin

4.   BV — VP = 1 — cos ½BEP = sin vers. ½BEP,

und in dem gegebenen Rade, dessen Radius = ½BV, ist

5.   BV — VP = 2 sin vers. ½BEP.

Somit ergiebt sich zuletzt die Proportion

AP : 2 sin. vers. ½BP = 2 CE : CB.   W. z. b. w.

Die Linie AP werden wir aber, der Unterscheidung wegen, im ersteren Falle eine Cycloïde ausserhalb, im andern Falle eine Cycloïde innerhalb der Kugel^[3] nennen.

Zusatz 1. Beschreibt man die ganze Cycloïde ASL, und halbirt man dieselbe in S, so verhält sich die Curve PS zur Linie VP (welche letztere, für EB als Radius, gleich 2 sin VBP ist), wie

2 CE : CB.

Das Verhältniss beider ist also constant.

Zusatz 2. Die Länge des halben Umfanges der Cycloïde oder AS verhält sich zum Durchmesser BV des Rades, wie

2 CE : CB.

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1. No. 43. S. 157. Dass VP Tangente an der Curve im Punkt P sei, (Fig. 93.) wird analytisch sehr leicht bewiesen. Man kann sieh aber auch wie im Text vorstellen, dass das Element der Curve bei P beschrieben wird, indem die Linie BP sich um B drehet; alsdann ist BP der Radius des osculirenden Kreises und die darauf senkrechte Linie VP Tangente an der Curve.
2. No. 44. S. 157. Da BV als Durchmesser constant, also sein Increment = ist, so wird das Increment von BV — VP identisch mit dem Decremente von VP.
3. No. 45. S. 157. Die Cycloïde ausserhalb und innerhalb der Kugel wird jetzt bezüglich Epicycloïde und Hypocycloïde genannt.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 157. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/165&oldid=- (Version vom 1.8.2018)