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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Kraft angetrieben, wenn die Bahn langsamer rückwärts schreitet. Der Unterschied der Kräfte ist nun Abstand mn der Orte, durch welchen der Körper p, vermöge jener Wirkung in jener Zeit sich fortbewegen muss, proportional.

Aus dem Centrum C denke man sich mit dem Radius

Cn = Ck

einen Kreis beschrieben, welcher die verlängerten Linien mr und mn in s und t schneidet; alsdann ist

4. mn · mt = mk · ms, also

\scriptstyle mn={\frac {mk\cdot ms}{mt}}

Da die Dreiecke pCk und pCn bei gegebener Zeit der Grösse nach gegeben sind, so sind kr und mr oder auch ihre Summe ms und ihre Differenz mk umgekehrt der Höhe pC, also

mk · ms umgekehrt pC, proportional.

Ferner ist mt direct ½ mt, d. h. pC proportional. Hier sind die ersten Verhältnisse der entstehenden Linien zu verstehen, und es ist daher

\scriptstyle {\frac {mk\cdot ms}{mt}}=mn

und der der letztern proportionale Unterschied der Kräfte umgekehrt proportional

pC³.

W. z. b. w.

Zusatz 1. Hiernach verhält sich der Unterschied der Kräfte in P und p oder in K und k zu der Kraft, vermöge welcher sich der Körper im Kreise von R nach k in derselben Zeit bewegen würde, in der der Körper P in der festen Bahn den Bogen PK beschreibt, wie

5. mn : sin · vers · RK =

\scriptstyle {\frac {mk\cdot ms}{mt}}:{\frac {rk^{2}}{2\cdot kC}}

= mk · ms : rk².

d. h. wenn man

6. F : G =

\scriptstyle \angle

VCP : VCp

annimmt, wie

G² - F² : F².^[1]

Beschreibt man daher aus dem Centrum C mit irgend einem Radias

CP = Cp

einen Kreissector gleich der Fläche VPC, die der Körper P in irgend einer Zeit in der unbeweglichen Bahn beschrieben hat, so verhält sich der Unterschied der Kräfte, vermöge deren P in der festen und p in der beweglichen Bahn sich bewegen, zu derjenigen Centripetalkraft, vermöge welcher ein Körper jenen Sector gleichförmig in derselben Zeit beschreiben könnte, wie

G² — F² : F².

Jener Sector und die Fläche pCk verhalten sich nämlich wie die Zeiten in denen sie beschrieben werden.

Zusatz 2. Ist VPK eine Ellipse deren Brennpunkt in C, obere Apside sich in V befindet, und ist die Ellipse

6. vpk

\scriptstyle \cong

VPK,

dergestalt, dass stets

7. und

\scriptstyle {\begin{cases}pC&=PC\\\angle VCp:VCP&=G:F\end{cases}};

↑ [585] No. 40. S. 144. Fig. 90. Durch den Unterschied der zwei ersten Kräfte wird der Weg mn, durch die zweite Kraft gleichzeitig der geradlinige Weg rϱ zurückgelegt. Das gesuchte Verhältniss ist daher mn : rϱ. Für die entstehenden Grössen ist aber $\scriptstyle mn={\frac {mk\cdot ms}{mt}}$ und $\scriptstyle r\varrho ={\frac {kr^{2}}{mt}}$ , mithin wird das gesuchte Verhältniss mk · ms : kr². Im Lehrsatz, Gl. 1. und Zusatz 1., Gl. 5. war $\scriptstyle \angle$ VCP : VCp = kr : mr = F : G mithin nun mr + kr : kr = G + F : F und mr — kr : kr = G — F : F d. h. (mr + kr) (mr — kr) : kr² = G² — F² : F² oder ms · mk : kr² = G² — F² : F².

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 144. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/152&oldid=- (Version vom 12.5.2018)

[1] [585] No. 40. S. 144. Fig. 90. Durch den Unterschied der zwei ersten Kräfte wird der Weg mn, durch die zweite Kraft gleichzeitig der geradlinige Weg rϱ zurückgelegt. Das gesuchte Verhältniss ist daher mn : rϱ. Für die entstehenden Grössen ist aber $\scriptstyle mn={\frac {mk\cdot ms}{mt}}$ und $\scriptstyle r\varrho ={\frac {kr^{2}}{mt}}$ , mithin wird das gesuchte Verhältniss mk · ms : kr². Im Lehrsatz, Gl. 1. und Zusatz 1., Gl. 5. war $\scriptstyle \angle$ VCP : VCp = kr : mr = F : G mithin nun mr + kr : kr = G + F : F und mr — kr : kr = G — F : F d. h. (mr + kr) (mr — kr) : kr² = G² — F² : F² oder ms · mk : kr² = G² — F² : F².

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