um den Pol, so werden die Durchschnittspunkte der Spirallinie wechselweise in einander übergehen und derjenige, welcher der erste und nächste war, wird nach einer Umdrehung der zweite, nach zwei Umdrehungen der dritte werden u. s. w.
Die Gleichung ändert sich inzwischen nicht weiter, als nach Verhältniss der Veränderung derjenigen Grössen, durch welche die Lage der schneidenden Linie bestimmt wird. Da nun jene Grössen nach den einzelnen Umdrehungen zu ihren ersten Werthen zurückkehren, so kehrt auch die Gleichung zu ihrer ersten Form zurück; mithin stellt eine und dieselbe alle Durchschnittspunkte dar und hat desswegen unendlich viele Wurzeln, wodurch alle dargestellt werden können. Es kann daher der Durchschnitt einer geraden Linie mit einer Spirallinie durch seine endliche Gleichung allgemein gefunden werden und folglich existirt keine ovale Figur, deren durch gegebene gerade Linien begrenzter Flächeninhalt durch eine solche Gleichung allgemein dargestellt werden könnte.
Auf dieselbe Weise kann man, wenn man den Abstand des Pols von dem Punkte, der die Spirale beschreibt, dem Umfange des abgeschnittenen Ovals proportional annimmt, darthun, dass die Länge des Umfanges durch keine endliche Gleichung dargestellt werden könne. Ich rede hier von solchen Ovalen, welche nicht von conjugirten, ins Unendliche fortgehenden Figuren berührt werden.
Zusatz. Es ergiebt sich daher der Flächeninhalt einer Ellipse, welche durch einen, vom Brennpunkte nach dem beweglichen Punkte gezogenen Radius vector beschrieben wird, aus der gegebenen Zeit durch keine endliche Gleichung, und sie kann daher nicht durch die Beschreibung geometrisch-rationaler Figuren dargestellt werden. Geometrisch-rationale Figuren nenne ich solche, deren Punkte alle durch Längen, die mittelst Gleichungen gegeben sind, d. h. durch zusammengesetzte Verhältnisse der Längen bestimmt werden können, die übrigen (wie Spirallinien, Trochoiden) nenne ich geometrisch-irrationale. Denn die Längen, welche sich wie eine Zahl zu einer Zahl, oder nicht auf diese Weise verhalten (wie im 10. Buche der Elemente Euklid’s,) sind arithmetisch-rational oder irrational. Die der Zeit proportionale Fläche einer Ellipse schneide ich daher durch eine geometrisch-irrationale Curve ab, und zwar auf folgende Weise:
§. 70. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich in einer Ellipse; man soll seinen Ort zu einer gegebenen Zeit finden.
In der Ellipse APB sei A der Hauptscheitelpunkt, S der Brennpunkt, O das Centrum und P der zu findende Ort des Körpers. Man verlängere OA bis G, so dass
sei, errichte GH auf AG perpendikulär und beschreibe aus O als Mittelpunkt, mit OG als Halbmesser, den Kreis EFG. Auf der geraden Linie GH als Grundlinie lasse man den Kreis EFG sich fortbewegen, indem
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 122. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/130&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
