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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

a und b, durch die der Kegelschnitt gezogen werden soll, geht; demnach wird hikl ein vollständiges Parallelogramm sein.

Man schneide hi, ik und kl in den Punkten c, d und e so dass

$\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=ic:id$ = ke : kd $\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=ic:id=$ 1.   $\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=hi+kl:ik+{\sqrt {ah\cdot hb}}+{\sqrt {al\cdot lb}}$;

alsdann sind c, d und e die Berührungspunkte.

Nach der Lehre von den Kegelschnitten ist nämlich

hc² : ah · hb = ic² : id² = ke² : kd² = el² : al · bl,

mithin auch

2.   $\scriptstyle hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}=ic:id=ke:kd=el:{\sqrt {al\cdot lb}}i$

oder auch durch Zusammensetzung;

$\scriptstyle {\begin{array}{ccc}hc+ic+ke+el:{\sqrt {ah\cdot hb}}+id+kd+{\sqrt {al\cdot lb}}&=hc:{\sqrt {ab\cdot hb}}\\&=ic:id\\&=ke:kd\\&=el:{\sqrt {al\cdot lb}}\end{array}}$

d. h. da

$\scriptstyle {\begin{array}{ccc}hc+ic=hi\\ke+el=kl\\id+kd=ik\\hi+kl:ik+{\sqrt {ah\cdot hb}}+{\sqrt {al\cdot lb}}&=hc:{\sqrt {ah\cdot hb}}\\&=ic:id\\&=ke:kd\\&=el:{\sqrt {al\cdot lb}}\end{array}}$

Man hat also auf diese Weise die Berührungspunkte c, d, e der neuen Figur. Durch die umgekehrten Operationen des §. 55. übertrage man diese Punkte in die ursprüngliche Figur und beschreibe dort, nach §. 51. Erste Construction, die Curve.

Eben so wie die Punkte a und b innerhalb oder ausserhalb h und l liegen, müssen übrigens auch die Punkte e, d, e respective innerhalb oder ausserhalb h und i, i und k, k und l liegen. Liegt der eine von beiden Punkten a und b innerhalb, der andere ausserhalb h und l, so ist die Aufgabe unmöglich.

§. 57. Aufgabe. Eine Curve zu beschreiben, welche durch einen gegebenen Punkt geht und vier, der Lage nach gegebene, gerade Linie berührt.

Fig. 56.

Von dem Durchschnittspunkte zweier beliebigen Tangenten ziehe man eine gerade Linie nach dem Durchschnittspunkte der beiden andern, und verwandele, indem man diese so erhaltene Linie als ersten ordinirten Radius annimmt, nach §. 55. die Figur in eine neue. Alsdann werden je zwei Tangenten, welche vorher nach dem ordinirten Radius zu convergirten, parallel. Es seien hi und kl, ik und hl die Tangenten, welche das

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 104. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/112&oldid=- (Version vom 1.8.2018)