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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Aus der Formel, welche unser Resultat bildete, können wir nun die Funktion $p\,$ fortschaffen, und erhalten:

[1]	${\frac {2n+1}{n}}\cdot {\frac {q_{n+1}(\lambda s)q_{n}(-\lambda \sigma )-q_{n+1}(-\lambda s)q_{n}(\lambda \sigma )}{q_{n+1}(\lambda s)q_{n-1}(-\lambda S)-q_{n+1}(-\lambda s)q_{n-1}(\lambda S)}}\,$ [2]

$=\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}.\,$

^[3] Wir wenden diese Formel, welche die exacte Lösung giebt, auf specielle Fälle an, welche Vereinfachungen zulassen.

^[4] 1. Es sei zunächst die Hohlkugel sehr dünn, sei $d\,$ ihre Dicke. Es ist dann $S\,$ sehr wenig verschieden von $s,\,$ sei

$S=s+\delta ,\,$ wo nun $\delta =\mu d\,$ ist.

Für $\sigma \,$ können wir einen beliebigen Werth zwischen $s\,$ und $S\,$ setzen, sei $\sigma =S.\,$

Setzt man diesen Werth in obige Formel ein, wendet im Nenner die Substitution

$q_{n-1}={\frac {2n+1}{2n}}q_{n}+{\frac {\lambda ^{2}\sigma ^{2}}{4n(n+1)}}q_{n+1}\,$

an, und dividirt durch den Zähler, so erhält man

$\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}\,$

$={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\lambda ^{2}\mu ^{2}}{2(n+1)(2n+1)}}{\cfrac {q_{n+1}(\lambda s)q_{n+1}(-\lambda S)-q_{n+1}(-\lambda s)q_{n+1}(\lambda S)}{q_{n+1}(\lambda s)q_{n}(-\lambda S)-q_{n+1}(-\lambda s)q_{n}\lambda S}}}}\,$

Setzt man nun entwickelnd:

${\begin{aligned}q_{n+1}(\lambda S)&=q_{n+1}\lbrace \lambda (s+\delta )\rbrace \\&=q_{n+1}(\lambda s)+\lambda \delta q'_{n+1}(\lambda s)\\&=q_{n+1}(\lambda s)+{\frac {\delta \lambda ^{2}s}{2(n+2)}}q_{n+2}(\lambda s),\\q_{n+1}(-\lambda S)&=q_{n+1}(-\lambda s)-{\frac {\delta \lambda ^{2}s}{2(n+2)}}q_{n+2}(-\lambda s)\end{aligned}}\,$

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1. Definitive Form der Lösung. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Es werde fortan für $\lambda _{1}$ einfach $\lambda$ geschrieben, und ist also $\lambda ={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}(1+{\sqrt {-1}})$
3. Anwendungen derselben. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
4. Dünne Kugelschaalen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 48. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_049.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)