Seite:De Induction in rotirenden Kugeln (Hertz) 012.png

	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

11

Aus $\varphi \,$ folgt unmittelbar:

${\begin{aligned}u&={\frac {\omega }{\varkappa }}\left\lbrace -{\frac {1}{n+1}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)+x{\frac {\partial \chi }{\partial z}}\right\rbrace \\v&={\frac {\omega }{\varkappa }}\left\lbrace -{\frac {1}{n+1}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)+y{\frac {\partial \chi }{\partial z}}\right\rbrace \\w&={\frac {\omega }{\varkappa }}\left\lbrace -{\frac {1}{n+1}}{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)+z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-n\chi _{n}\right\rbrace .\end{aligned}}\,$ [1]

Multipliciren wir diese Gleichungen mit $x\ y\ z\,$ und addiren, so folgt

$ux+vy+wz=0.\,$

Die Strömung ist also überall senkrecht zum Radius, sie findet in concentrischen Kugelschaalen um den Nullpunkt statt. Es ist dies eine Folge des Umstandes, dass Gleichung b) nicht nur an der Oberfläche, sondern in der ganzen Masse erfüllt ist.

Weiter findet man

${\begin{aligned}{\mathit {\Delta }}u&={\frac {\omega }{\varkappa }}\left\lbrace -2{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x\ \partial z}}+2{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x\ \partial z}}\right\rbrace =0\\{\mathit {\Delta }}v&=0\\{\mathit {\Delta }}w&=0,{\text{da auch}}{\mathit {\Delta }}\chi _{n}=0.\end{aligned}}\,$

Uebrigens sind $u\ v\ w\,$ homogene Funktionen $n\,$ten Grades in $x,y,z;\,$ es sind also $u\ v\ w\,$ durch Kugelfunktionen $n\,$ten Grades dargestellt. Wir werden für $u\ v\ w\,$ alsbald einfachere Formen finden.

Da die Strömungen in den concentrischen Kugelschichten einander ähnlich sind, so sind sie auch ähnlich denjenigen, welche in einer unendlich dünnen Hohlkugel entstehen, wir wenden uns daher zunächst zu einer solchen und bestimmen den Werth der Integrale $U\ V\ W,\,$ und zwar für den innern Raum, wenn $n\,$ positiv ist; für den äussern Raum, wenn $n\,$ negativ ist. Nur der erstere Fall soll durchgerechnet werden. $\varkappa \,$ ersetzen wir durch $k.\,$ Für $U\ V\ W\,$ gelten die Bedingungen:

${\mathit {\Delta }}U=0,\quad {\mathit {\Delta }}V=0,\quad {\mathit {\Delta }}W=0\,$

im ganzen Raum, an der Kugeischaale

${\frac {\partial U_{a}}{\partial \varrho }}-{\frac {\partial U_{i}}{\partial \varrho }}=-4\pi u,\,$

---

1. Bestimmung von $u,v,w.$ WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 11. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_012.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)