Seite:De Induction in rotirenden Kugeln (Hertz) 007.png

	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

6

Den angeführten Grössen sind zur Bequemlichkeit ihre Einheiten beigefügt.

3. ^[1] Der äussere Radius der betrachteten Hohlkugel sei $R,\,$ der innere $r.\,$ Die Drehungsgeschwindigkeit der Kugel sei $\omega .\,$

4. Wird eine Funktion $\chi ,\,$ die in einem beliebigen Raum ^[2] der Gleichung ${\mathit {\Delta }}\chi =0\,$ genügt, nach Kugelfunktionen entwickelt, so soll $\chi _{n}\,$ dasjenige Glied bezeichnen, welches den Faktor $\varrho ^{n}\,$ enthält, und diese Bezeichnung soll, wenn nicht näheres bestimmt wird, auch negative $n\,$ umfassen.

Bei weiterer Zerlegung von $\chi _{n}\,$ gelte die Beziehung:

für positive $n:\,$

$\chi _{n}=\varrho ^{n}Y_{n},\,$

für negative $n:\,$

$\chi _{n}=\varrho ^{n}Y_{-n-1},\,$

$Y_{n}=\sum _{0}^{n}\!i\ (A_{ni}\ \cos i\omega +B_{ni}\ \sin i\omega )\ P_{ni}(\theta ),\,$

für alle $n\,$ gelten die Gleichungen:

${\mathit {\Delta }}\chi _{n}=0\,$

$x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}+y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}+z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}=n\chi _{n}.\,$

Die $m\,$ten Differentialquotienten von $\chi _{n}\,$ nach den $x\ y\ z\,$ sind Kugelfunktionen $n-m\,$ter Ordnung, sofern nicht ein vorangegangener der nullten Ordnung wird. Die Ausdrücke

${\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega _{x}}},\ \quad {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega _{y}}},\ \quad {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \omega _{z}}}\,$

sind Kugelfunktionen $n\,$ter Ordnung,

Ferner ist

${\mathit {\Delta }}(\varrho ^{m}Y_{n})=(m-n)(m+n+1)\varrho ^{m-2}Y_{n}\,$

$x{\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial x}}+y{\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial y}}+z{\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial z}}=m\varrho ^{m}Y_{n}\,$

${\frac {\partial (\varrho ^{m}Y_{n})}{\partial \varrho }}={\frac {m}{\varrho }}(\varrho ^{m}Y_{n}).\,$

---

1. Maasse der Betrachteten Kugel WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Entwicklung nach Kugelfunktion WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 6. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_007.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)