Satz 21. In einem jeden Ideal
lassen sich stets zwei Zahlen finden, deren
Normen die Norm des Ideals
zum größten gemeinsamen Teiler haben.
Beweis. Man setze
und bestimme nach Satz 12 eine Zahl
in
derart, daß
prim zu
ausfällt. Dann wird, wenn
, …,
die zu
konjugierten Zahlen und
, …,
die zu
konjugierten Ideale bedeuten, auch
, …,
, und folglich
prim zu
,
d. h. es ist
.
§ 8.
Der Fermatsche Satz in der Idealtheorie und die Funktion
.
Auf Grund der nämlichen Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen
ergibt sich die folgende, dem Fermatschen Lehrsatz entsprechende Tatsache:
[Dedekind (1[1])].
Satz 22. Ist
ein Primideal vom Grade
, so genügt jede ganze Zahl
des
Körpers
der Kongruenz
|
.
|
Auch der verallgemeinerte Fermatsche Lehrsatz ist leicht auf die Körpertheorie übertragbar. Man beweist ferner ohne Mühe die folgenden Sätze:
[Dedekind (1[1])].
Satz 23. Die Anzahl aller derjenigen nach einem Ideale
einander inkongruenten Zahlen, welche prim zu
sind, ist
|
,
|
wo
,
, …,
die sämtlichen in
aufgehenden und voneinander verschiedenen Primideale bedeuten. Für die Zahl
gelten die beiden Formeln
|
und ,
|
wo in der ersteren Formel
und
prim zueinander sind und in der letzteren
sich die Summation über alle Idealteiler
des Ideals
erstreckt.
Satz 24. Jede zu dem Ideal
prime ganze Zahl
genügt der Kongruenz
|
.
|
So genügt beispielsweise jede durch ein Primideal
vom Grade
nicht teilbare ganze Zahl
des Körpers
der Kongruenz
|
.
|
Es gelten ferner die Tatsachen:
Satz 25. Wenn
, …,
Ideale bedeuten, von denen stets je zwei zueinander prim sind, und wenn
, …,
beliebige ganze Zahlen sind, so gibt
es eine ganze Zahl
, die den Kongruenzen
|
, , …, ,
|
genügt.
- ↑ a b [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]
Anmerkungen (Wikisource)