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Satz 21. In einem jeden Ideal lassen sich stets zwei Zahlen finden, deren Normen die Norm des Ideals zum größten gemeinsamen Teiler haben.

Beweis. Man setze und bestimme nach Satz 12 eine Zahl in derart, daß prim zu ausfällt. Dann wird, wenn , …, die zu konjugierten Zahlen und , …, die zu konjugierten Ideale bedeuten, auch , …, , und folglich prim zu , d. h. es ist .

§ 8. Der Fermatsche Satz in der Idealtheorie und die Funktion .

Auf Grund der nämlichen Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen ergibt sich die folgende, dem Fermatschen Lehrsatz entsprechende Tatsache: [Dedekind (1[1])].

Satz 22. Ist ein Primideal vom Grade , so genügt jede ganze Zahl des Körpers der Kongruenz

.

Auch der verallgemeinerte Fermatsche Lehrsatz ist leicht auf die Körpertheorie übertragbar. Man beweist ferner ohne Mühe die folgenden Sätze: [Dedekind (1[1])].

Satz 23. Die Anzahl aller derjenigen nach einem Ideale einander inkongruenten Zahlen, welche prim zu sind, ist

,

wo , , …, die sämtlichen in aufgehenden und voneinander verschiedenen Primideale bedeuten. Für die Zahl gelten die beiden Formeln

   und   ,

wo in der ersteren Formel und prim zueinander sind und in der letzteren sich die Summation über alle Idealteiler des Ideals erstreckt.

Satz 24. Jede zu dem Ideal prime ganze Zahl genügt der Kongruenz

.

So genügt beispielsweise jede durch ein Primideal vom Grade nicht teilbare ganze Zahl des Körpers der Kongruenz

.

Es gelten ferner die Tatsachen:

Satz 25. Wenn , …, Ideale bedeuten, von denen stets je zwei zueinander prim sind, und wenn , …, beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es eine ganze Zahl , die den Kongruenzen

,   , …, ,  

genügt.


  1. a b [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 82. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/99&oldid=- (Version vom 21.1.2022)