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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.3

Satz 21. In einem jeden Ideal ${\mathfrak {j}}$ lassen sich stets zwei Zahlen finden, deren Normen die Norm des Ideals ${\mathfrak {j}}$ zum größten gemeinsamen Teiler haben.

Beweis. Man setze $a=n({\mathfrak {j}})$ und bestimme nach Satz 12 eine Zahl $\alpha$ in ${\mathfrak {j}}$ derart, daß $\textstyle {\frac {\alpha }{\mathfrak {j}}}$ prim zu $a$ ausfällt. Dann wird, wenn $\alpha '$, …, $\alpha ^{(m-1)}$ die zu $\alpha$ konjugierten Zahlen und ${\mathfrak {j}}'$, …, ${\mathfrak {j}}^{(m-1)}$ die zu ${\mathfrak {j}}$ konjugierten Ideale bedeuten, auch $\textstyle {\frac {\alpha '}{{\mathfrak {j}}'}}$, …, $\textstyle {\frac {\alpha ^{(m-1)}}{{\mathfrak {j}}^{(m-1)}}}$, und folglich $\textstyle {\frac {n(\alpha )}{n({\mathfrak {j}})}}={\frac {n(\alpha )}{a}}$ prim zu $a$, d. h. es ist $n({\mathfrak {j}})=a=\left(a^{m},\,n(\alpha )\right)=\left(n(a),\,n(\alpha )\right)$.

§ 8. Der Fermatsche Satz in der Idealtheorie und die Funktion $\varphi ({\mathfrak {a}})$.

Auf Grund der nämlichen Schlüsse wie in der Theorie der rationalen Zahlen ergibt sich die folgende, dem Fermatschen Lehrsatz entsprechende Tatsache: [Dedekind (1^[1])].

Satz 22. Ist ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal vom Grade $f$, so genügt jede ganze Zahl $\omega$ des Körpers $k$ der Kongruenz

$\omega ^{p^{f}}\equiv \omega ,\qquad ({\mathfrak {p}})$.

Auch der verallgemeinerte Fermatsche Lehrsatz ist leicht auf die Körpertheorie übertragbar. Man beweist ferner ohne Mühe die folgenden Sätze: [Dedekind (1^[1])].

Satz 23. Die Anzahl aller derjenigen nach einem Ideale ${\mathfrak {a}}$ einander inkongruenten Zahlen, welche prim zu ${\mathfrak {a}}$ sind, ist

$\varphi ({\mathfrak {a}})=n({\mathfrak {a}})\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{1})}}\right)\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{2})}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {p}}_{r})}}\right)$,

wo ${\mathfrak {p}}_{1}$, ${\mathfrak {p}}_{2}$, …, ${\mathfrak {p}}_{r}$ die sämtlichen in ${\mathfrak {a}}$ aufgehenden und voneinander verschiedenen Primideale bedeuten. Für die Zahl $\varphi$ gelten die beiden Formeln

$\varphi ({\mathfrak {a}})\varphi ({\mathfrak {b}})=\varphi ({\mathfrak {ab}})$   und   $\sum \varphi ({\mathfrak {t}})=n({\mathfrak {a}})$,

wo in der ersteren Formel ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ prim zueinander sind und in der letzteren sich die Summation über alle Idealteiler ${\mathfrak {t}}$ des Ideals ${\mathfrak {a}}$ erstreckt.

Satz 24. Jede zu dem Ideal ${\mathfrak {a}}$ prime ganze Zahl $\omega$ genügt der Kongruenz

$\omega ^{\varphi ({\mathfrak {a}})}\equiv 1,\quad ({\mathfrak {a}})$.

So genügt beispielsweise jede durch ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ vom Grade $f$ nicht teilbare ganze Zahl $\omega$ des Körpers $k$ der Kongruenz

$\omega ^{p^{f}(p^{f}-1)}\equiv 1,\quad ({\mathfrak {p}}^{2})$.

Es gelten ferner die Tatsachen:

Satz 25. Wenn ${\mathfrak {a}}_{1}$, …, ${\mathfrak {a}}_{r}$ Ideale bedeuten, von denen stets je zwei zueinander prim sind, und wenn $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ beliebige ganze Zahlen sind, so gibt es eine ganze Zahl $\omega$, die den Kongruenzen

$\omega \equiv \alpha _{1}$,   $({\mathfrak {a}}_{1})$, …, $\omega \equiv \alpha _{r}$,   $({\mathfrak {a}}_{r})$

genügt.

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1. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 82. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/99&oldid=- (Version vom 21.1.2022)