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oder hat. Ist , so berücksichtigen wir, daß für die Kongruenz nach gilt. setzen wir daher , so wird nach ,wo den Wert oder hat. Wegen nach folgt:

, 

d. h. für , bezüglich für :

, 
, .

Die rechte Seite der ersteren Kongruenz kann nicht nach sein; soll die rechte Seite der zweiten Kongruenz nach sein, so muß werden, da , wie leicht ersichtlich, der kleinste unter allen ungeraden Exponenten ist derart, daß nach werden kann. Wegen ist unsere obige Behauptung bewiesen.

Wir setzen nach , wo den Wert oder hat. Es genügt folglich, wenn gesetzt wird, die Zahl , gegebenenfalls nach Multiplikation mit dem Quadrat einer geeigneten Zahl aus , der Kongruenz nach . Die Zahlen und definieren stets einen zyklischen Körper vom Grade . Denn im Falle stimmt mit überein und im Falle enthält der Körper , da er imaginär ist, sicher noch andere Zahlen, als in vorhanden sind. Da eine ganze Zahl ist, deren Partialdiskriminante in bezug auf zu prim ausfällt, so ist die Partialdiskriminante des Körpers in bezug auf prim zu . Es ist daher die Zahl im Körper nicht gleich der -ten Potenz eines Primideals. Bezeichnet ein in enthaltenes Primideal des Körpers , so muß der Trägheitskörper von in den zweiten Grad besitzen; dieser Trägheitskörper müßte daher gleich sein, was nicht möglich ist, da die Diskriminante von eine Potenz von ist. Damit ist unsere ursprüngliche Annahme widerlegt, d. h. es ist bewiesen, daß die beiden Körper und miteinander identisch sind.

Wir beweisen nunmehr den Kroneckerschen Fundamentalsatz in folgender Art. Zunächst ist leicht aus der Theorie der Abelschen Gruppen ersichtlich, daß ein jeder Abelsche Körper sich aus zyklischen Körpern zusammensetzen läßt, deren Grade die Potenzen einer Primzahl sind; es ist daher nur nötig, zu zeigen, daß ein jeder solcher zyklische Körper ein Kreiskörper ist. Infolge des Satzes 3 wird dieser Nachweis auf den Fall zurückgeführt, in welchem die Diskriminante des vorgelegten zyklischen Körpers keine Primzahlen mit der Kongruenzeigenschaft nach enthält. Ist ein zyklischer Körper dieser Art, so besitzt die Diskriminante des in

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 61. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/78&oldid=- (Version vom 31.7.2018)