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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

$0$ oder $1$ hat. Ist $a=1$, so berücksichtigen wir, daß für $\mathrm {e} <2^{h}-1$ die Kongruenz $\textstyle 1+\lambda ^{\mathrm {e} +1}\equiv \left(1+\lambda ^{\frac {\mathrm {e} +1}{2}}\right)^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{\mathrm {e} +2}$ gilt. setzen wir daher $\textstyle \sigma =\varrho \alpha ^{2}\left(1+\lambda ^{\frac {\mathrm {e} +1}{2}}\right)^{2a}$, so wird $\sigma \equiv 1+\lambda ^{\mathrm {e} }+b\lambda ^{\mathrm {e} +2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{\mathrm {e} +3}$,wo $b$ den Wert $0$ oder $1$ hat. Wegen $t\lambda \equiv \lambda +\lambda ^{3}$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$ folgt:

$t\sigma \equiv 1+(\lambda +\lambda ^{3})^{\mathrm {e} }+b\lambda ^{\mathrm {e} +2}\equiv 1+\lambda ^{\mathrm {e} }+(b+1)\lambda ^{\mathrm {e} +2}$, $({\mathfrak {l}}^{\mathrm {e} +3})$

d. h. für $\mathrm {e} =1$, bezüglich für $\mathrm {e} \geqq 3$:

$\sigma \cdot t\sigma \equiv (1+\lambda )(1+\lambda +\lambda ^{3})\equiv 1+\lambda ^{2}+\lambda ^{3}$, $({\mathfrak {l}}^{4})$

$\sigma \cdot t\sigma \equiv (1+\lambda ^{\mathrm {e} })(1+\lambda ^{\mathrm {e} }+\lambda ^{\mathrm {e} +2})\equiv 1+\lambda ^{\mathrm {e} +2}$, $({\mathfrak {l}}^{\mathrm {e} +3})$.

Die rechte Seite der ersteren Kongruenz kann nicht $\equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{4}$ sein; soll die rechte Seite der zweiten Kongruenz $\equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{\mathrm {e} +3}$ sein, so muß $\mathrm {e} +2\geqq 2^{h}+1$ werden, da $2^{h}+1$, wie leicht ersichtlich, der kleinste unter allen ungeraden Exponenten $f$ ist derart, daß $1+\lambda ^{f}\equiv \alpha ^{2}$ nach ${\mathfrak {l}}^{f+1}$ werden kann. Wegen $\mathrm {e} \geqq 2^{h}-1$ ist unsere obige Behauptung bewiesen.

Wir setzen $\sigma =\varrho \alpha ^{2}\equiv 1+a\lambda ^{2^{h}-1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{2^{h}}$, wo $a$ den Wert $0$ oder $1$ hat. Es genügt folglich, wenn $\tau =(-1)^{a}\sigma$ gesetzt wird, die Zahl $\tau$, gegebenenfalls nach Multiplikation mit dem Quadrat einer geeigneten Zahl aus $Z_{h-1}$, der Kongruenz $\tau \equiv 1$ nach $4$. Die Zahlen $\lambda$ und ${\sqrt {\tau }}$ definieren stets einen zyklischen Körper $L''_{h}$ vom Grade $2^{h}$. Denn im Falle $a=0$ stimmt $L''_{h}=k(\lambda ,\,{\sqrt {\tau }})$ mit $L'_{h}$ überein und im Falle $a=1$ enthält der Körper $L''_{h}$, da er imaginär ist, sicher noch andere Zahlen, als in $Z_{h-1}$ vorhanden sind. Da $\textstyle {\frac {1-{\sqrt {\tau }}}{2}}$ eine ganze Zahl ist, deren Partialdiskriminante in bezug auf $Z_{h-1}$ zu $2$ prim ausfällt, so ist die Partialdiskriminante des Körpers $L''_{h}$ in bezug auf $Z_{h-1}$ prim zu $2$. Es ist daher die Zahl $2$ im Körper $L''_{h}$ nicht gleich der $2^{h}$-ten Potenz eines Primideals. Bezeichnet ${\mathfrak {L}}$ ein in ${\mathfrak {l}}$ enthaltenes Primideal des Körpers $L''_{h}$, so muß der Trägheitskörper von ${\mathfrak {L}}$ in $L''_{h}$ den zweiten Grad besitzen; dieser Trägheitskörper müßte daher gleich $Z_{1}$ sein, was nicht möglich ist, da die Diskriminante von $Z_{1}$ eine Potenz von $2$ ist. Damit ist unsere ursprüngliche Annahme widerlegt, d. h. es ist bewiesen, daß die beiden Körper $L_{h}$ und $Z_{h}$ miteinander identisch sind.

Wir beweisen nunmehr den Kroneckerschen Fundamentalsatz in folgender Art. Zunächst ist leicht aus der Theorie der Abelschen Gruppen ersichtlich, daß ein jeder Abelsche Körper sich aus zyklischen Körpern $L_{h}$ zusammensetzen läßt, deren Grade die Potenzen $l^{h}$ einer Primzahl $l$ sind; es ist daher nur nötig, zu zeigen, daß ein jeder solcher zyklische Körper $L_{h}$ ein Kreiskörper ist. Infolge des Satzes 3 wird dieser Nachweis auf den Fall zurückgeführt, in welchem die Diskriminante des vorgelegten zyklischen Körpers $L_{h}$ keine Primzahlen $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$ enthält. Ist $L_{h}$ ein zyklischer Körper dieser Art, so besitzt die Diskriminante des in $L_{h}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 61. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/78&oldid=- (Version vom 31.7.2018)