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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

Nehmen wir zunächst $h=1$, so wäre der genannte Trägheitskörper $T=L_{1}$; dies ist nicht möglich, weil nach Voraussetzung die Diskriminante des Körpers $L_{1}$ eine positive Potenz von $u$ ist. Der Beweis für den ersten Teil unseres Satzes ist hierdurch erbracht. Nehmen wir $h>1$ an, so müßte jener Trägheitskörper $T$ des Ideals ${\mathfrak {L}}$ entweder $=U_{1}$ sein oder den Körper $U_{1}$ als Unterkörper enthalten. Beides ist nicht möglich, da die Diskriminante von $U_{1}$ eine Potenz von $u$ ist und dieser Widerspruch lehrt die Richtigkeit des zweiten Teiles unseres Satzes 5.

Satz 6. Wenn ein reeller zyklischer Körper $L_{h}$ vom Grade $2^{h}$ den Körper $Z_{h-1}$ als Unterkörper enthält, so stimmt $L_{h}$ mit $Z_{h}$ überein.

Beweis. Der Körper $Z_{h-1}$ wird durch die Zahl

$\lambda =e^{\frac {i\pi }{2^{h}}}+e^{-{\frac {i\pi }{2^{h}}}}$

und der Körper $Z_{h}$ durch die Zahl

$\mu =e^{\frac {i\pi }{2^{h+1}}}+e^{-{\frac {i\pi }{2^{h+1}}}}$

bestimmt. Es ist $\mu ^{2}=\lambda +2$, d. h. $\mu ={\sqrt {\lambda +2}}$. Im Sinne der Idealtheorie gilt ferner die Gleichung (2) $={\mathfrak {l}}^{2^{h-1}}$, wo ${\mathfrak {l}}=(\lambda )$ ein Primideal in $Z_{h-1}$ bedeutet. Der Körper $L_{h}$ ist jedenfalls durch die Zahl $\lambda$ und eine Zahl von der Form ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmt, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $Z_{h-1}$ bedeutet. Wäre nun der Körper $L_{h}$ von $Z_{h}$ verschieden und nehmen wir an, es sei $\varkappa$ durch ${\mathfrak {l}}^{m}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{m+1}$ teilbar, so setze man $\textstyle \varrho ={\frac {\varkappa (\lambda +2)^{m}}{\lambda ^{2m}}}$; die beiden Zahlen $\lambda$ und $\textstyle {\sqrt {\varrho }}={\frac {\mu ^{m}}{\lambda ^{m}}}{\sqrt {\varkappa }}$ definieren dann wiederum einen reellen zyklischen Körper $L'_{h}$ vom $2^{h}$-ten Grade und $\varrho$ bedeutet eine ganze, nicht durch ${\mathfrak {l}}$ teilbare Zahl. Wir wollen zeigen, daß dieses unmöglich ist.

Zu dem Zwecke setzen wir $\Theta =e^{\frac {i\pi }{2^{h}}}$ und $t=(\Theta :\Theta ^{5})$. Da die Zahl ${\sqrt {t\varrho }}$ mit der Zahl $\lambda$ zusammen ebenfalls den Körper $L'_{h}$ definieren muß, so folgt ${\sqrt {t\varrho }}=\alpha {\sqrt {\varrho }}$, wo $\alpha$ in $Z_{h-1}$ liegt, d. h. es ist $\varrho \cdot t\varrho$ das Quadrat einer Zahl in $Z_{h-1}$. Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper $Z_{h-1}$ eine Zahl $\alpha$ gefunden werden kann, welche der Kongruenz $\varrho \alpha ^{2}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2^{h}-1}$ genügt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei $e$ der größte Exponent von der Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in $Z_{h-1}$ liegenden Zahl $\alpha$ die Kongruenz $\varrho \alpha ^{2}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{e}$ stattfindet und es sei im Gegensatz zu unserer Behauptung $e<2^{h}-1$; wir setzen demgemäß $\varrho \alpha ^{2}\equiv 1+\lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$ und unterscheiden dann 2 Fälle, je nachdem $e$ gerade oder ungerade ausfällt. Im ersteren Falle berücksichtigen wir die Kongruenz $\varrho \alpha ^{2}\left(1+\lambda ^{\frac {e}{2}}\right)^{2}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$; dieselbe würde zeigen, daß $e$ nicht der höchste Exponent von der verlangten Art wäre. Im zweiten Falle setzen wir $\varrho \alpha ^{2}\equiv 1+\lambda ^{e}+a\lambda ^{e+1}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+2}$, wo $a$ den Wert

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 60. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/77&oldid=- (Version vom 31.7.2018)