Nehmen wir zunächst
, so wäre der genannte Trägheitskörper
; dies ist nicht möglich, weil nach Voraussetzung die Diskriminante des Körpers
eine positive Potenz von
ist. Der Beweis für den ersten Teil unseres Satzes ist hierdurch erbracht. Nehmen wir
an, so müßte jener Trägheitskörper
des Ideals
entweder
sein oder den Körper
als Unterkörper enthalten. Beides ist nicht möglich, da die Diskriminante von
eine Potenz von
ist und dieser Widerspruch lehrt die Richtigkeit des zweiten Teiles unseres Satzes 5.
Satz 6. Wenn ein reeller zyklischer Körper
vom Grade
den Körper
als Unterkörper enthält, so stimmt
mit
überein.
Beweis. Der Körper
wird durch die Zahl
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und der Körper
durch die Zahl
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bestimmt. Es ist
, d. h.
. Im Sinne der Idealtheorie gilt ferner die Gleichung (2)
, wo
ein Primideal in
bedeutet.
Der Körper
ist jedenfalls durch die Zahl
und eine Zahl von der Form
bestimmt, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet. Wäre nun der Körper
von
verschieden und nehmen wir an, es sei
durch
, aber nicht durch
teilbar, so setze man
; die beiden Zahlen
und
definieren dann wiederum einen reellen zyklischen Körper
vom
-ten Grade und
bedeutet eine ganze, nicht durch
teilbare Zahl. Wir wollen zeigen, daß dieses unmöglich ist.
Zu dem Zwecke setzen wir
und
. Da die Zahl
mit
der Zahl
zusammen ebenfalls den Körper
definieren muß, so folgt
, wo
in
liegt, d. h. es ist
das Quadrat einer Zahl in
. Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper
eine
Zahl
gefunden werden kann, welche der Kongruenz
nach
genügt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei
der größte Exponent von der
Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in
liegenden Zahl
die Kongruenz
nach
stattfindet und es sei im Gegensatz zu unserer Behauptung
; wir setzen demgemäß
nach
und unterscheiden dann 2 Fälle, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt. Im ersteren Falle berücksichtigen wir die Kongruenz
nach
; dieselbe
würde zeigen, daß
nicht der höchste Exponent von der verlangten Art wäre.
Im zweiten Falle setzen wir
nach
, wo
den Wert