Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/76

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

Wir betrachten nun die in Satz 2 konstruierte Zahl $\varkappa$. Da das Primideal ${\mathfrak {l}}$ in $k(\Theta )$ vom ersten Grade ist, so folgt, wenn $\varrho =\varkappa ^{(t-1)(u-1)}$ gesetzt wird, für diese Zahl die Kongruenz $\varrho \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$. Wir setzen $\varrho \equiv 1+a\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$, wo $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann ist $\sigma =\varrho \Theta ^{a}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$. Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper $k(\Theta )$ eine Zahl $\alpha$ gefunden werden kann, so daß die Kongruenz $\sigma \alpha ^{u}\equiv 1$ nach $(1-\vartheta )^{u}$ besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei $e$ der größte Exponent von der Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in $k(\Theta )$ liegenden Zahl $\alpha$ die Kongruenz $\sigma \alpha ^{u}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{e}$ stattfindet und es sei unserer Behauptung entgegen ${\mathfrak {l}}^{e}$ nicht durch $(1-\vartheta )^{u}$ teilbar, d. h. es sei $e<u^{h}$; wir setzen demgemäß $\sigma \alpha ^{u}\equiv 1+\alpha \lambda ^{e}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$, wo $a$ eine nicht durch $u$ teilbare ganze rationale Zahl bedeutet, und unterscheiden 2 Fälle, je nachdem $e$ durch $u$ teilbar ist oder nicht. Im ersten Falle gilt die Kongruenz

$1+a\lambda ^{e}\equiv \left(1+a\lambda ^{\frac {e}{u}}\right)^{u}$,     $({\mathfrak {l}}^{e+1})$

und mithin ist

$\sigma \left\{\alpha \left(1+a\lambda ^{\frac {e}{u}}\right)^{-1}\right\}^{u}\equiv 1$,     $({\mathfrak {l}}^{e+1})$.

Diese Kongruenz widerstreitet der Annahme, wonach $e$ der größte Exponent dieser Art sein sollte. Im zweiten Falle berücksichtigen wir, daß nach Satz 2 $\varkappa ^{t-r}$ und folglich auch $\sigma ^{t-r}$ die $u$-te Potenz einer Zahl in $k(\Theta )$ ist; wir setzen etwa $(\sigma \alpha ^{u})^{t-r}=\beta ^{u}$, wo $\beta$ eine Zahl des Körpers $k(\Theta )$ ist. Dieser Umstand liefert die Kongruenz $1+a(r\lambda )^{e}-ar\lambda ^{e}\equiv \beta ^{u}$ nach ${\mathfrak {l}}^{e+1}$. Da $e<u^{h}$ und nicht durch $u$ teilbar ist, so würde hieraus $ar^{e}\equiv ar$ nach ${\mathfrak {l}}$ folgen, was ebenfalls unmöglich ist, da $r$ Primitivzahl nach $u$ sein soll. Diese Betrachtung lehrt also $e\geqq u^{h}$, womit unsere Behauptung bewiesen ist.

Wir setzen nun $\textstyle \sigma \alpha ^{u}={\frac {\tau }{a^{u(u-1)}}}$, wo $\tau$ eine ganze algebraische Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $\tau \equiv 1$ nach $(1-\vartheta )^{u}$ ist und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Nehmen wir dann an, der Körper $L_{h}$ sei von dem Körper $U_{h}$ verschieden, so wäre der aus $k(\Theta )$, $U_{h}$ und $L_{h}$ zusammengesetzte Körper $k\left({\sqrt[{u}]{\Theta }},\,{\sqrt[{u}]{\tau }}\right)$ vom Grade $u^{h+1}(u-1)$. Es ist andererseits $\textstyle {\frac {1-{\sqrt[{u}]{\tau }}}{1-\vartheta }}$ gleich einer ganzen Zahl des Körpers $k\left({\sqrt[{u}]{\Theta }},\,{\sqrt[{u}]{\tau }}\right)$ und die Partialdiskriminante dieser Zahl in bezug auf $k\left({\sqrt[{u}]{\Theta }}\right)$ ist gleich $\varepsilon \tau ^{u-1}$, wo $\varepsilon$ eine Einheit ist. Da $\tau$ zu $u$ prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante des Körpers $k\left({\sqrt[{u}]{\Theta }},\,{\sqrt[{u}]{\tau }}\right)$ in bezug auf den Körper $k\left({\sqrt[{u}]{\Theta }}\right)$ ebenfalls prim zu $u$. Bezeichnen wir daher mit ${\mathfrak {L}}$ einen idealen Primfaktor von ${\mathfrak {l}}$ im Körper $k\left({\sqrt[{u}]{\Theta }},\,{\sqrt[{u}]{\tau }}\right)$, so besitzt ${\mathfrak {L}}$ in diesem Körper einen Trägheitskörper $T$, welcher mindestens den Grad $u$ hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers $T$ ist prim zu u.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 59. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/76&oldid=- (Version vom 31.7.2018)