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Wir betrachten nun die in Satz 2 konstruierte Zahl . Da das Primideal in vom ersten Grade ist, so folgt, wenn gesetzt wird, für diese Zahl die Kongruenz nach . Wir setzen nach , wo eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann ist nach . Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper eine Zahl gefunden werden kann, so daß die Kongruenz nach besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei der größte Exponent von der Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in liegenden Zahl die Kongruenz nach stattfindet und es sei unserer Behauptung entgegen nicht durch teilbar, d. h. es sei ; wir setzen demgemäß nach , wo eine nicht durch teilbare ganze rationale Zahl bedeutet, und unterscheiden 2 Fälle, je nachdem durch teilbar ist oder nicht. Im ersten Falle gilt die Kongruenz

,     

und mithin ist

,     .

Diese Kongruenz widerstreitet der Annahme, wonach der größte Exponent dieser Art sein sollte. Im zweiten Falle berücksichtigen wir, daß nach Satz 2 und folglich auch die -te Potenz einer Zahl in ist; wir setzen etwa , wo eine Zahl des Körpers ist. Dieser Umstand liefert die Kongruenz nach . Da und nicht durch teilbar ist, so würde hieraus nach folgen, was ebenfalls unmöglich ist, da Primitivzahl nach sein soll. Diese Betrachtung lehrt also , womit unsere Behauptung bewiesen ist.

Wir setzen nun , wo eine ganze algebraische Zahl mit der Kongruenzeigenschaft nach ist und eine ganze rationale Zahl bedeutet. Nehmen wir dann an, der Körper sei von dem Körper verschieden, so wäre der aus , und zusammengesetzte Körper vom Grade . Es ist andererseits gleich einer ganzen Zahl des Körpers und die Partialdiskriminante dieser Zahl in bezug auf ist gleich , wo eine Einheit ist. Da zu prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante des Körpers in bezug auf den Körper ebenfalls prim zu . Bezeichnen wir daher mit einen idealen Primfaktor von im Körper , so besitzt in diesem Körper einen Trägheitskörper , welcher mindestens den Grad hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers ist prim zu u.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 59. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/76&oldid=- (Version vom 31.7.2018)