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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, ${\mathfrak {p}}''$, … enthalten und daher zu $p$ prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl $\varkappa ^{(t^{m}-1)\varphi (t)}$. Wir setzen $\textstyle \varkappa ^{(t^{m}-1)\varphi (t)}={\frac {\varrho }{a^{l}}}$, wo $\varrho$ eine ganze algebraische zu $p$ prime Zahl und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper $k(\vartheta ,\,L_{1})$ wird mithin auch durch die beiden Zahlen $\vartheta$ und ${\sqrt[{l}]{\varrho }}$ bestimmt. Die Partialdiskriminante der Zahl ${\sqrt[{l}]{\varrho }}$ ist in bezug auf $k(\vartheta )=\pm l^{l}\varrho ^{l-1}$, und da $\varrho$ zu $p$ prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante von $k(\vartheta ,\,L_{1})$ in bezug auf $k(\vartheta )$ prim zu $p$. Da andrerseits die Diskriminante von $k(\vartheta )$ nicht durch $p$ teilbar ist, so ist auch die Diskriminante von $k(\vartheta ,\,L_{1})$ und folglich auch die Diskriminante des Körpers $L_{1}$ prim zu $p$, was unserer Annahme widerspricht.

In ähnlicher Weise schließen wir die Richtigkeit unseres Satzes bei ungeradem $l$, wenn der Exponent $h$ beliebig angenommen wird. Wir setzen unter Beibehaltung der in Satz 1 angewandten Bezeichnungsweise $\textstyle \Theta =e^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$ und $t=(\Theta :\Theta ^{r})$, wo $r$ eine Primitivzahl nach $l^{h}$ bedeuten möge. Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein idealer Primfaktor der in der Diskriminante von $L_{1}$, aufgehenden Primzahl $p$ in $k(\Theta )$. Nehmen wir $p\not \equiv 1$ nach $l^{h}$ an, so liegt, wie die Theorie des Kreiskörpers $k(\Theta )$ lehrt, das Primideal ${\mathfrak {p}}$ jedenfalls auch in dem Unterkörper $k(\Theta ^{l})$, d. h. es ist ${\mathfrak {p}}^{t^{l^{h-2}(l-1)}}={\mathfrak {p}}$ und ebenso gelten für die zu ${\mathfrak {p}}$ in $k(\Theta )$ konjugierten Primideale ${\mathfrak {p}}'$, … die Gleichungen ${\mathfrak {p}}'^{t^{l^{h-2}(l-1)}-1}=1$, …. Da $r$ Primitivzahl nach $l^{h}$ ist, so wird $r^{l^{h-2}(l-1)}\not \equiv 1$ nach $l^{h}$ und mithin lassen sich 3 ganze ganzzahlige Funktionen $\varphi (t)$, $\psi (t)$, $\chi (t)$ der Variablen $t$ derart bestimmen, daß

$l^{h-1}=(t^{l^{h-2}(l-1)}-1)\phi (t)+(t-r)\psi (t)+l^{h}\chi (t)$

ist; hieraus folgt insbesondere, wenn $\varkappa$ die in Satz 1 bestimmte Zahl bedeutet

$\varkappa ^{l^{h-1}}=\varkappa ^{(t^{l^{h-2}(l-1)}-1)\varphi (t)}\alpha ^{l^{h}}$,

wo $\alpha$ eine Zahl in $k(\Theta )$ bedeutet. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {p}}'$, … ist $\varkappa ^{t^{l^{h-2}(l-1)}-1}$ und folglich auch $\varkappa ^{(t^{l^{h-2}(l-1)}-1)\varphi (t)}$ eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu $p$ prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl $\textstyle ={\frac {\varrho }{a^{l^{h}}}}$ setzen, wo $\varrho$ eine ganze algebraische zu $p$ prime Zahl und $a$ eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist folglich $\textstyle {\sqrt[{l}]{\varkappa }}={\frac {\alpha }{a}}{\sqrt[{l^{h}}]{\varrho }}$, und daraus ergibt sich $\varrho =\sigma ^{l^{h-1}}$, wo $\sigma$ ebenfalls in $k(\Theta )$ liegt. Da der durch $\Theta$ und ${\sqrt[{l}]{\varkappa }}$ bestimmte Körper mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus $k(\Theta )$ und $L_{1}$ entsteht, und da die Partialdiskriminante der Zahl ${\sqrt[{l}]{\sigma }}$ in bezug auf $k(\Theta )$ den zu $p$ primen Wert $\pm l^{l}\sigma ^{l-1}$ besitzt, so ist die Partialdiskriminante des Körpers $k(\Theta ,\,L_{1})$ in bezug auf $k(\Theta )$ prim zu $p$. Andererseits ist die Diskriminante von $k(\Theta )$ ebenfalls nicht durch $p$ teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von den Diskriminanten des Körpers

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 57. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/74&oldid=- (Version vom 18.8.2016)