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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 6

Der zyklische Unterkörper vom $u^{h}$-ten Grade dieses Körpers werde mit $U_{h}$ bezeichnet; die Diskriminante von $U_{h}$ ist eine Potenz von $u$. Ferner bestimmt die Zahl $e^{\frac {i\pi }{2^{h+1}}}+e^{-{\frac {i\pi }{2^{h+1}}}}$ einen reellen zyklischen Körper vom $2^{h}$-ten Grade. Dieser Körper werde mit $Z_{h}$ bezeichnet; die Diskriminante desselben ist eine Potenz von $2.$ Endlich wählen wir eine rationale Primzahl $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv 1$ nach $l^{h}$ aus, wo $l$ eine beliebige gerade oder ungerade Primzahl bedeutet; dann besitzt der Kreiskörper $k\left(e^{\frac {2i\pi }{p}}\right)$ vom Grade $p-1$ offenbar einen zyklischen Unterkörper vom Grade $l^{h}$, dessen Diskriminante eine Potenz von $p$ ist. Dieser zyklische Körper $l^{h}$-ten Grades werde mit $P_{h}$ bezeichnet. Die Körper $U_{h},\ Z_{h},\ P_{h}$ sind sämtlich Kreiskörper.

Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Hilfssätze über zyklische Körper.

Satz 1. Wenn ein beliebiger zyklischer Körper $L_{h}$, dessen Grad $l^{h}$ die Potenz einer geraden oder ungeraden Primzahl $l$ ist, keinen der beiden Körper $U_{1}$ oder $Z_{1}$ als Unterkörper enthält, so gibt es in dem durch die Zahl $\Theta =e^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$ bestimmten Körper $k(\Theta )$ stets eine ganze algebraische Zahl $\varkappa$ von der Art, daß der aus $k(\Theta )$ und $L_{h}$ zusammengesetzte Körper $k(\Theta ,\ L_{h})$ durch die Zahlen $\Theta$ und ${\sqrt[{l^{h}}]{\varkappa }}$ bestimmt ist. Die Zahl $\varkappa$ besitzt obenein die Eigenschaft, daß $\varkappa ^{t-r}$ die $l^{h}$-te Potenz einer Zahl in $k(\Theta )$ wird; dabei bedeutet $r$ eine beliebige, nicht durch $l$ teilbare ganze rationale Zahl, ferner $t=(\Theta :\Theta ^{r})$ die zugehörige Substitution der Gruppe des Kreiskörpers $k(\Theta )$ und endlich ist symbolisch $t\varkappa =\varkappa ^{t}$, d. h. ${\frac {t\varkappa }{\varkappa ^{r}}}=\varkappa ^{t-r}$ gesetzt.

Beweis. Ist $\alpha$ eine den Körper $L_{h}$ bestimmende ganze algebraische Zahl und sind $1,\ s,\ s^{2},\ \ldots ,\ s^{l^{h}-1}$ die Substitutionen der Gruppe von $L_{h}$, so setze man

$K=\alpha +\Theta \cdot s\alpha +\Theta ^{2}\cdot s^{2}\alpha +\cdots +\Theta ^{l^{h}-1}\cdot s^{l^{h}-1}\alpha .$

Aus $sK=\Theta ^{-1}K$ folgt leicht, daß die beiden Zahlen $K^{l^{h}}$ und $K^{t-r}$ Zahlen des Körpers $k(\Theta )$ sind. Die Zahl $\varkappa =K^{l^{h}}$ ist daher von der verlangten Beschaffenheit. Daß der durch $\Theta$ und ${\sqrt[{l^{h}}]{\varkappa }}$ bestimmte Körper mit dem durch $\Theta$ und $\alpha$ bestimmten Körper identisch ist, folgt leicht aus der Gleichheit ihrer Grade, da der letztere Körper den ersteren enthält.

Satz 2. Wenn ein beliebiger zyklischer Körper $L_{h}$, dessen Grad $u^{h}$ die Potenz einer ungeraden Primzahl ist, den Körper $U_{h-1}$ als Unterkörper enthält, so enthält der aus $\vartheta =e^{\frac {2i\pi }{u}}$ und aus $L_{h}$ zusammengesetzte Körper $k(\vartheta ,\ L_{h})$ notwendig den durch $\Theta =e^{\frac {2i\pi }{u^{h}}}$ bestimmten Körper $k(\Theta )$ als Unterkörper. Es gibt nun in diesem Körper $k(\Theta )$ stets eine ganze algebraische Zahl $\varkappa$ derart, daß der Körper $k(\vartheta ,\ L_{h})$ auch durch die Zahlen $\vartheta$ und ${\sqrt[{u}]{\varkappa }}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 54. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/71&oldid=- (Version vom 31.7.2018)