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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Es ist hierzu offenbar notwendig, daß im Körper $k'$ eine von $1$ verschiedene Klasse $c'$ existiert, für welche ${\overline {c'}}=1$ ist.

Um hierüber zu entscheiden, nehmen wir an, es sei ${\mathfrak {h}}'$ ein Ideal in $k'$, welches im biquadratischen Körper $K$ ein Hauptideal ist. Setzen wir ${\mathfrak {h}}'={\mathsf {A}}$, wo ${\mathsf {A}}$ eine Zahl in $K$ ist, so wird offenbar $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{S'{\mathsf {A}}}}$ eine Einheit des Körpers $K$, deren absoluter Betrag $=1$ und welche daher eine Einheitswurzel $\varrho$ ist. Setzen wir nun ${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}$, $=i{\mathsf {A}}$, $\textstyle ={\frac {\mathsf {A}}{1-i}}$, oder $\textstyle ={\frac {\mathsf {A}}{1+i}}$, je nachdem $\varrho$ den Wert $+1$, $-1$, $+i$ oder $-i$ hat, so ergibt sich $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S'{\mathsf {B}}}}=1$ d. h. ${\mathsf {B}}$ ist eine reelle Zahl. Folglich ist ${\mathfrak {h}}'$ entweder gleich einer reellen Zahl d. h. ein Hauptideal in $k'$ oder ${\mathfrak {h}}'$ wird gleich einer reellen Zahl, multipliziert mit einem Ideal ${\mathfrak {l}}'$, welches als Ideal in $K$ aufgefaßt, gleich $1+i$ ist. Da somit ${\mathfrak {l}}'^{2}=2$ sein muß, so tritt dieser letztere Fall nur unter der Bedingung $\partial \equiv 3$ nach $4$ oder $\partial \equiv 0$ nach $2$ ein. Umgekehrt bestimmt das durch die Gleichung ${\mathfrak {l}}'^{2}=2$ definierte Ideal ${\mathfrak {l}}'$ stets in $k'$ eine Klasse $l'$, für welche ${\overline {l'}}=1$ wird. Der Fall, in welchem $K$ noch andere Einheitswurzeln enthält, ist leicht für sich erledigt. Es folgt aus unseren Entwicklungen das Resultat:

Die Anzahl der Paare von Klassen $c'$, $c''$ in den Körpern $k'$, bezüglich $k''$, für welche ${\overline {c'c''}}=1$ wird, ist im Falle eines ungeraden $\partial$ gleich der Zahl $2^{\pi +\varkappa -1}$ oder $=2^{\pi +\varkappa }$ und im Falle eines geraden $\partial$ gleich der Zahl $2^{\pi +\varkappa }$ oder gleich $2^{\pi +\varkappa +1}$, je nachdem die Zahl $2$, abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl des reellen quadratischen Körpers $k'$ ist oder nicht.

Bezeichnen wir nun die Anzahl der Idealklassen $c'$, $c''$ in den beiden Körpern $k'$, $k''$ bezüglich mit $h'$, $h''$, so erhalten wir $h'h''$ Kombinationen von der Gestalt ${\overline {c'c''}}$ und wenn wir diese Anzahl $h'h''$ durch die soeben gefundene Anzahl der die Bedingung ${\overline {c'c''}}=1$ erfüllenden Klassenpaare dividieren, so ergibt sich die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen Klassen ${\overline {c'c''}}$ des biquadratischen Körpers, welche von der Hauptart sind. Da aber, wie oben angegeben worden ist, genau der $2^{\pi +\varkappa -1}$-te Teil bezüglich der $2^{\pi +\varkappa }$-te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers $K$ der Hauptart angehört, je nachdem $\partial$ ungerade oder gerade ist, so gewinnen wir den Satz:

Die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Zahlkörpers $K$ ist gleich dem Produkt der Anzahlen der ldealklassen in den beiden quadratischen Körpern $k'$ und $k''$ oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem in dem reellen quadratischen Körper die Zahl $2$, abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl ist oder nicht.

Bezeichnet $\alpha '$ die Zahl in $k'$, deren Quadrat abgesehen von einem Einheitsfaktor, die Zahl $2$ ergibt, so ist $\textstyle {\frac {1+i}{\alpha '}}$ eine Einheit des biquadratischen Körpers $K$, deren Partialnorm $=\pm i$ wird. Es gilt auch umgekehrt der Satz, daß die

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 51. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/68&oldid=- (Version vom 31.7.2018)