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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

$\delta$ aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s-1}$ und setzen $1+i=\lambda _{s}$. Wegen $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }}$ erhalten wir wiederum:

$\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}:\delta }}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$.

Endlich sei $\delta$ durch $1+i$ teilbar; wir setzen $\delta =(1+i)\delta '$ und erteilen $\nu$ die obige Bedeutung. Da wiederum $\delta$ von allen in $\nu$ zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so kann bei der Berechnung der Faktoren des Symbols $\textstyle \left[{\frac {\delta '}{\nu }}\right]$ die Zahl $\delta '$ durch $1+i$ ersetzt werden; die oben gefundene Formel für den quadratischen Restcharakter von $1+i$ ergibt dann $\textstyle \left[{\frac {\delta '}{\nu }}\right]=(-1)^{t'_{\nu }+t''_{\nu }}$. Setzen wir ferner in der allgemeinen Reziprozitätsgleichung $\alpha =\delta '$, $\beta =\nu$ und benutzen dann den soeben gefundenen Wert des Symbols $\textstyle \left[{\frac {\delta '}{\nu }}\right]$, so erhalten wir $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\delta '}}\right]=(-1)^{t_{\delta '}t'_{\nu }+t'_{\delta '}t_{\nu }+t'_{\nu }+t''_{\nu }}$. Andererseits hat das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]$ den gleichen Wert und hieraus ergibt sich wiederum, wenn wir die sämtlichen in $\delta$ enthaltenen Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ bezeichnen, die Gleichung

$\left[{\frac {\nu }{\lambda _{1}:\delta }}\right]\cdots \left[{\frac {\nu }{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$.

Es gilt daher in allen Fällen der Satz:

Ein vorgelegtes Charakterensystem ist dann und nur dann durch ein Geschlecht vertreten, wenn das Produkt aller Charaktere desselben $=+1$ ist.

§ 9. Der spezielle Dirichletsche Körper.

Wenn der durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmte Dirichletsche Körper $K$ außer dem Körper $k$ noch einen anderen quadratischen Körper enthalten soll, so muß, wie man leicht erkennt, $\delta$ gleich einer reellen oder gleich einer rein imaginären Zahl sein. In diesem Falle bezeichnen wir den durch ${\sqrt {\delta }}$ bestimmten Dirichletschen biquadratischen Körper als einen speziellen Dirichletschen Körper und setzen $\partial =\pm \delta$ bezüglich $\partial =\pm 2i\delta$, so daß $\partial$ stets eine reelle positive Zahl bedeutet, welche durch kein Quadrat einer reellen Zahl teilbar ist. Der spezielle Dirichletsche Körper $K$ ist ein Galoisscher Körper. Eine beliebige Zahl desselben kann in die Gestalt:

${\mathsf {A}}=a+bi+c{\sqrt {\partial }}+di{\sqrt {\partial }}$

gebracht werden, wo $a$, $b$, $c$, $d$ rationale Zahlen sind und wir erhalten die 3 zu ${\mathsf {A}}$ konjugierten Zahlen durch Anwendung der 3 Substitutionen:

${\begin{aligned}S^{\color {white}\prime \prime \color {black}}&=\left({\sqrt {\partial }}:-{\sqrt {\partial }}\right),\\S^{\prime \color {white}\prime \color {black}}&=\left(i:-i\right),\\S^{\prime \prime }&=SS'=\left({\sqrt {\partial }}:-{\sqrt {\partial }},\,i:-i\right).\end{aligned}}$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 47. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/64&oldid=- (Version vom 31.7.2018)