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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Wir nehmen bei der nachfolgenden Untersuchung die beiden Primzahlen $\varkappa$ und $\pi$ in dieser Gestalt an, so daß stets $t_{\varkappa }=0$, $t_{\pi }=0$ zu setzen ist.

Es sei zunächst $\varkappa$ eine Primzahl $\equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$. Ist dann $\pi$ eine Primzahl von der Art, daß $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ wird, so kann $\pi$ in dem durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$ zerlegt werden und ist folglich die Partialnorm eines Ideals. Durch die oben angewandte Schlußweise folgt dann, daß $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ sein muß. Wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:

Aus	$\varkappa \equiv (00)$, $\pi \equiv (00)$	nach	$(1+i)^{4}$	und	$\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$	folgt	$\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$, (1)
„	$\varkappa \equiv (00)$, $\pi \equiv (01)$	„	$(1+i)^{4}$	„	$\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$	„	$\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. (2)

Es sei ferner $\varkappa \equiv (01)$ nach $(1+i)^{4}$, so gibt es in dem durch ${\sqrt {\varkappa }}$ bestimmten Körper $K_{\varkappa }$ zwei Charaktere, aber nur ein Geschlecht, weil das Charakterensystem der Zahl $i$, wie man leicht durch Rechnung findet, aus 2 negativen Einheiten besteht. Ist daher $\pi$ eine Primzahl von der Art, daß $\left[\textstyle {\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ wird, so müssen auch die Charaktere $\textstyle \left[{\frac {\pi }{1+i:\varkappa }}\right]$ und $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa :\varkappa }}\right]$ entweder beide positiv oder beide negativ sein; hieraus folgt $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ und wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:

Aus	$\varkappa \equiv (01)$, $\pi \equiv (00)$	nach	$(1+i)^{4}$	und	$\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$	folgt	$\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$, (3)
„	$\varkappa \equiv (01)$, $\pi \equiv (01)$	„	$(1+i)^{4}$	„	$\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$	„	$\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. (4)

Diese 4 Sätze zeigen, daß unter der Voraussetzung $t_{\varkappa }=0$, $t_{\pi }=0$ allgemein $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=\left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]$ ist.

Es sei nämlich zunächst $t'_{\varkappa }=0$, $t'_{\pi }=0$. Nach (1) folgt aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ notwendig $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. Ist aber $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=-1$, so muß auch $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=-1$ sein, da ja ebenfalls nach (1) bei Vertauschung von $\varkappa$ mit $\pi$ aus $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ notwendig aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ folgen würde.

Es sei ferner $t'_{\varkappa }=0$, $t'_{\pi }=1$. Nach (2) folgt aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ notwendig $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. Ist aber $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=-1$, so muß auch $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=-1$ sein, da ja nach (3) aus $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$ auch $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ folgen würde.

Endlich sei $t'_{\varkappa }=1$, $t'_{\pi }=1$. Nach (4) folgt aus $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=+1$ notwendig $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=+1$. Ist aber $\textstyle \left[{\frac {\varkappa }{\pi }}\right]=-1$, so muß auch $\textstyle \left[{\frac {\pi }{\varkappa }}\right]=-1$ sein, da ja ebenfalls

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 45. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/62&oldid=- (Version vom 31.7.2018)