Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/62

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Wir nehmen bei der nachfolgenden Untersuchung die beiden Primzahlen und in dieser Gestalt an, so daß stets , zu setzen ist.

Es sei zunächst eine Primzahl nach . Ist dann eine Primzahl von der Art, daß wird, so kann in dem durch bestimmten Körper zerlegt werden und ist folglich die Partialnorm eines Ideals. Durch die oben angewandte Schlußweise folgt dann, daß sein muß. Wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:

Aus , nach und folgt , (1)
, . (2)

Es sei ferner nach , so gibt es in dem durch bestimmten Körper zwei Charaktere, aber nur ein Geschlecht, weil das Charakterensystem der Zahl , wie man leicht durch Rechnung findet, aus 2 negativen Einheiten besteht. Ist daher eine Primzahl von der Art, daß wird, so müssen auch die Charaktere und entweder beide positiv oder beide negativ sein; hieraus folgt und wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:

Aus , nach und folgt , (3)
, . (4)

Diese 4 Sätze zeigen, daß unter der Voraussetzung , allgemein ist.

Es sei nämlich zunächst , . Nach (1) folgt aus notwendig . Ist aber , so muß auch sein, da ja ebenfalls nach (1) bei Vertauschung von mit aus notwendig aus folgen würde.

Es sei ferner , . Nach (2) folgt aus notwendig . Ist aber , so muß auch sein, da ja nach (3) aus auch folgen würde.

Endlich sei , . Nach (4) folgt aus notwendig . Ist aber , so muß auch sein, da ja ebenfalls

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 45. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/62&oldid=- (Version vom 31.7.2018)