Wir nehmen bei der nachfolgenden Untersuchung die beiden Primzahlen
und
in dieser Gestalt an, so daß stets
,
zu setzen ist.
Es sei zunächst
eine Primzahl
nach
. Ist dann
eine Primzahl von der Art, daß
wird, so kann
in dem durch
bestimmten Körper
zerlegt werden und ist folglich die Partialnorm eines Ideals. Durch die oben angewandte Schlußweise folgt dann, daß
sein muß. Wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:
Aus
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,
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nach
|
|
und
|
|
folgt
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, (1)
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„
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,
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„
|
|
„
|
|
„
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. (2)
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Es sei ferner
nach
, so gibt es in dem durch
bestimmten Körper
zwei Charaktere, aber nur ein Geschlecht, weil das Charakterensystem der Zahl
, wie man leicht durch Rechnung findet, aus 2 negativen Einheiten besteht. Ist daher
eine Primzahl von der Art, daß
wird, so müssen auch die Charaktere
und
entweder beide positiv oder beide negativ sein; hieraus folgt
und wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:
Aus
|
,
|
nach
|
|
und
|
|
folgt
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, (3)
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„
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,
|
„
|
|
„
|
|
„
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. (4)
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Diese 4 Sätze zeigen, daß unter der Voraussetzung
,
allgemein
ist.
Es sei nämlich zunächst
,
. Nach (1) folgt aus
notwendig
. Ist aber
, so muß auch
sein, da ja ebenfalls nach (1) bei Vertauschung von
mit
aus
notwendig aus
folgen würde.
Es sei ferner
,
. Nach (2) folgt aus
notwendig
. Ist aber
, so muß auch
sein, da ja nach (3) aus
auch
folgen würde.
Endlich sei
,
. Nach (4) folgt aus
notwendig
. Ist aber
, so muß auch
sein, da ja ebenfalls