Wir verstehen unter
eine beliebige positive ganze Zahl
, ferner unter
,
irgend zwei ganze, den Ungleichungen
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(36)
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genügende Zahlen. Dann gelten nach Hilfssatz 5 die Gleichungen
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und nach Addition
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(37)
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wo die
und
gewisse
ganze positive Zahlen sind. Die linke Seite der Formel (37) hat die Gestalt
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,
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wenn
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gesetzt wird.
Wir überzeugen uns nun davon, daß der Ausdruck
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bei geeigneter, den Ungleichungen (36) entsprechender Wahl von
,
jede ganze Zahl
darzustellen vermag, die den Ungleichungen
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genügt. In der Tat, da die Zahlen
und
relativ prim sind, so besitzt erstlich für jedes ganzzahlige
die diophantische Gleichung
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ganzzahlige Lösungen
,
; nun ist aber zugleich mit
,
auch
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für jedes ganzzahlige
eine Lösung, und daraus wird ersichtlich, daß wir
der Ungleichung
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entsprechend annehmen dürfen. Da
ist, so wird
, sobald nur
hinreichend groß, etwa
gewählt wird; wir haben dann
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Mit Rücksicht auf die Ungleichung
folgt ferner
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,
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wenn
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