Wir verstehen unter 
eine beliebige positive ganze Zahl 
, ferner unter 
, 
irgend zwei ganze, den Ungleichungen
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(36)
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genügende Zahlen. Dann gelten nach Hilfssatz 5 die Gleichungen
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{p}[Kx^{q}-Y_{1}]&=\sum \limits _{h=1,\,2,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}P_{h}^{n},\\(x+1)^{p}[K(x+1)^{q}+Y_{2}]&=\sum \limits _{h=1,\,2,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}Q_{h}^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e841b7a15abb220167f812951ade68805a76e1f)
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und nach Addition
![{\displaystyle x^{p}[Kx^{q}-Y_{1}]+(x+1)^{p}[K(x+1)^{q}+Y_{2}]=\sum \limits _{h=1,\,2,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}(P_{h}^{n}+Q_{h}^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30e338deffc8d862fc5683c5800d80c87b588c5)
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(37)
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wo die 
und 
gewisse 
ganze positive Zahlen sind. Die linke Seite der Formel (37) hat die Gestalt
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![{\displaystyle K[x^{n}+(x+1)^{n}]+Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d884927315fd76a42d6e75f2fe85f21d0bf529) ,
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wenn
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gesetzt wird.
Wir überzeugen uns nun davon, daß der Ausdruck
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bei geeigneter, den Ungleichungen (36) entsprechender Wahl von , jede ganze Zahl 
darzustellen vermag, die den Ungleichungen
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genügt. In der Tat, da die Zahlen 
und 
relativ prim sind, so besitzt erstlich für jedes ganzzahlige die diophantische Gleichung
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ganzzahlige Lösungen , ; nun ist aber zugleich mit , auch
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für jedes ganzzahlige 
eine Lösung, und daraus wird ersichtlich, daß wir der Ungleichung
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entsprechend annehmen dürfen. Da 
ist, so wird 
, sobald nur hinreichend groß, etwa gewählt wird; wir haben dann
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Mit Rücksicht auf die Ungleichung 
folgt ferner
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 ,
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wenn
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