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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

wächst; diese zu $m$ zugehörigen Größen $r_{h}$ , $\varphi$ , $F$ sind von folgender Beschaffenheit:

Es seien $x$ , $K$ , $\varkappa$ Zahlen, die denselben Bedingungen wie in Hilfssatz 3 genügen; es werde endlich, wie dort

\varkappa '=\varphi (\varkappa ),\quad K'=F(K,\,\varkappa )

gesetzt; wenn dann $Y$ eine beliebige ganze Zahl ( $\gtreqqless 0$ ) ist, deren absoluter Betrag der Ungleichung

|Y|<\varkappa {\sqrt {K}}x^{2}

genügt, so können zu diesen Größen $x$ , $K$ , $\varkappa$ , $Y$ stets $N$ ganze Zahlen $Y'_{1},\dotsc ,Y'_{N}(\gtreqqless 0)$ , deren absolute Beträge die Ungleichungen

|Y'_{h}|<\varkappa '{\sqrt {K'}}x

befriedigen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

x(Kx^{2}+Y)^{m}={\frac {1}{K'}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(K'x+Y'h)^{2m+1}

stattfindet.

Der Beweis folgt, indem wir die zum Beweis des Hilfssatzes 3 vorhin angewandten Schlußfolgerungen, statt auf Hilfssatz 1, nunmehr auf Hilfssatz 2 beziehen.

Hilfssatz 5. Zu jedem Exponenten $n$ gehören zwei ganze Zahlen $p$ , $q$ , so daß

n=p+q

(28)

und

0\leqq p<q

(29)

ist, ferner eine positive ganze Zahl $K$ und eine gewisse Anzahl $N^{*}$ positiver rationaler Zahlen

k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{N^{*}}

von folgender Beschaffenheit:

Ist $x$ eine beliebige positive ganze Zahl, $Y$ irgend eine ganze Zahl $(\gtreqqless 0)$ , deren absoluter Betrag der Ungleichung

|Y|<{\sqrt {K}}x^{q}

genügt, so gibt es zu diesen Zahlen $x$ , $Y$ stets gewisse $N^{*}$ positive ganze Zahlen

P_{1},P_{2},\dotsc ,P_{N^{*}}

derart, daß die Gleichung

x^{p}(Kx^{q}+Y)=\sum \limits _{h=1,\,2,\,\ldots ,\,N^{*}}k_{h}P_{h}^{n}

statthat.

Zum Beweise entwickeln wir den Exponenten $n$ im dyadischen Zahlsystem wie folgt

{\begin{aligned}n&=2^{g}+e_{1}2^{g-1}+e_{2}2^{g-2}+\cdots +e_{g-1}2+e_{g}\\&=1e_{1}e_{2}\cdots e_{g-1}e_{g},\end{aligned}}

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 522. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/539&oldid=- (Version vom 17.1.2018)