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wächst; diese zu zugehörigen Größen , , sind von folgender Beschaffenheit:

Es seien , , Zahlen, die denselben Bedingungen wie in Hilfssatz 3 genügen; es werde endlich, wie dort

gesetzt; wenn dann eine beliebige ganze Zahl () ist, deren absoluter Betrag der Ungleichung

genügt, so können zu diesen Größen , , , stets ganze Zahlen , deren absolute Beträge die Ungleichungen

befriedigen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

stattfindet.

Der Beweis folgt, indem wir die zum Beweis des Hilfssatzes 3 vorhin angewandten Schlußfolgerungen, statt auf Hilfssatz 1, nunmehr auf Hilfssatz 2 beziehen.

Hilfssatz 5. Zu jedem Exponenten gehören zwei ganze Zahlen , , so daß

(28)

und

(29)

ist, ferner eine positive ganze Zahl und eine gewisse Anzahl positiver rationaler Zahlen

von folgender Beschaffenheit:

Ist eine beliebige positive ganze Zahl, irgend eine ganze Zahl , deren absoluter Betrag der Ungleichung

genügt, so gibt es zu diesen Zahlen , stets gewisse positive ganze Zahlen

derart, daß die Gleichung

statthat.

Zum Beweise entwickeln wir den Exponenten im dyadischen Zahlsystem wie folgt

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 522. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/539&oldid=- (Version vom 17.1.2018)