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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

so gilt wegen (23), (24) infolge der Voraussetzung (20) unseres zu beweisenden Hilfssatzes

$0<X<5\varkappa {\sqrt {K}}x^{2}$.

Wir wenden jetzt den Hilfssatz 1 auf die Zahlen $x$, $G$, $X$ an; setzen wir noch darin

$\Gamma ={\sqrt {5\varkappa }}{\sqrt[{4}]{K}}$,

so wird zugleich auch der Bedingung (14) dieses Hilfssatzes 1 genügt, und derselbe lehrt das Bestehen einer Gleichung von der Gestalt

$(G^{2}x^{2}+X)^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(aGx+Y'_{h})^{2m}$,

(26)

wo $Y'_{h}$ (d. h. die $X_{h}$ in Hilfssatz 1) ganze den Ungleichungen

$|Y'_{h}|<A{\sqrt {5\varkappa }}{\sqrt[{4}]{K}}x$,

(27)

genügende Zahlen sind. Setzen wir

$\varphi (\varkappa )={\frac {A}{\sqrt {a}}}{\sqrt {10\varkappa }},\,F(K,\,\varkappa )=aG$,

so erfüllen diese Funktionen alle Bedingungen des zu beweisenden Hilfssatzes. Denn wegen (19) wird dann notwendig

$\varkappa '={\frac {A}{\sqrt {a}}}{\sqrt {10\varkappa }},\,K'=aG$,

und es geht (26) wegen (25) in die zum Schluß des Hilfssatzes 3 behauptete Gleichung über. Endlich ist wegen (18), (22)

$(2\varkappa +2)^{2}<K\leqq (G+\varkappa +1)^{2}$,

folglich

$\varkappa +1<G$,

und demnach

$A{\sqrt {5\varkappa }}{\sqrt[{4}]{K}}\leqq A{\sqrt {5\varkappa }}{\sqrt {G+\varkappa +1}}<A{\sqrt {10\varkappa }}{\sqrt {G}}$,

d. h.

$A{\sqrt {5\varkappa }}{\sqrt[{4}]{K}}<\varkappa '{\sqrt {K'}}$.

Wegen dieser Ungleichung geht aus (27) die Ungleichung (21) des Hilfssatzes 3 hervor; dieser Hilfssatz 3 ist mithin vollständig bewiesen.

Hilfssatz 4. Zu jedem Exponenten $m$ gehören wie in Hilfssatz 3 eine gewisse Anzahl $N$ positiver rationaler Zahlen

$r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{N}$,

ferner eine reelle, stets positive Funktion $\varphi (\varkappa )$ der reellen Variabeln $\varkappa$ und endlich eine Funktion $F(K,\,\varkappa )$ der ganzzahligen Variabeln $K$ und der reellen Variabeln $\varkappa$, die durchweg positive ganzzahlige Werte hat und bei festgehaltenem $\varkappa$ mit unendlich wachsendem $K$ selbst, ohne je abzunehmen, über alle Grenzen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 521. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/538&oldid=- (Version vom 27.6.2019)