ferner eine reelle, stets positive Funktion
der reellen Variabeln
und endlich eine Funktion
der ganzzahligen Variabeln
und der reellen Variabeln
, die durchweg positive ganzzahlige Werte hat und bei festgehaltenem
mit unendlich wachsendem
selbst, ohne je abzunehmen, über alle Grenzen wächst; diese zu
zugehörigen Größen
,
,
sind von folgender Beschaffenheit:
Es sei
eine beliebige positive ganze Zahl und
eine beliebige positive Zahl
, ferner
eine reelle, der Ungleichung
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(18)
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genügende Größe; es werde endlich
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(19)
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gesetzt; wenn dann
eine beliebige ganze Zahl (
) ist, deren absoluter Betrag der Ungleichung
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(20)
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genügt, so können zu diesen Größen
,
,
,
stets
ganze Zahlen
, …,
, deren absolute Beträge die Ungleichungen
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(21)
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befriedigen, derart gefunden werden, daß die Gleichung
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stattfindet.
Zum Beweise bestimmen wir zunächst eine positive ganze Zahl
durch die Ungleichungen
;
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(22)
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dann wird
,
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und da wegen (18)
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ist, so haben wir demnach auch
.
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(23)
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Andererseits ist mit Rücksicht auf (22)
,
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d. h.
.
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(24)
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Setzen wir nun
,
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(25)
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