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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

so folgt aus (14)

$|x_{h}|<\Gamma x$

($h=1$, …, $4$).

Nehmen wir daher

$X_{h}=a'_{1h}x_{1}+\cdots +a'_{4h}x_{4}$,

so wird

${\begin{aligned}|X_{h}|&\leqq (|a'_{1h}|+\cdots +|a'_{4h}|)\Gamma x\\&<A\Gamma x.\end{aligned}}$

Hilfssatz 2. Zu jedem Exponenten $m$ gehören wie in Hilfssatz 1 eine gewisse Anzahl $N$ positiver rationaler Zahlen

$r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{N}$,

sowie zwei positive ganze Zahlen $a$, $A$ von folgender Eigenschaft:

Es seien $x$, $G$, $\Gamma$ Zahlen wie in Hilfssatz 1, es sei ferner $X$ eine positive ganze Zahl, die der Ungleichung

$X<\Gamma ^{2}x^{2}$

(17)

genügt, dann können zu diesen Größen $x$, $G$, $\Gamma$, $X$ stets $N$ ganze Zahlen ($\gtreqqless 0$)

$X_{1}$, $X_{2}$, …, $X_{N}$

deren absolute Beträge den Ungleichungen

$|X_{h}|<A\Gamma x$

($h=1$, …, $N$)

genügen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

$x(G^{2}x^{2}+X)^{m}={\frac {1}{G}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(aGx+X_{h})^{2m+1}$

statthat.

Durch Differentiation von (16) nach $x$ entsteht eine Formel von der Gestalt

$x(G^{2}x^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{4}^{2})^{m-1}={\frac {1}{G}}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,N}r_{h}(aGx+a'_{1h}x_{1}+\cdots +a'_{4h}x_{4})^{2m-1}$,

wo die $r_{h}$ eine nicht wesentlich veränderte Bedeutung haben. Ersetzen wir hierin $m$ durch $m+1$ und wenden dann die vorige Überlegung auf diese Formel statt auf (16) an, so ergibt sich der Beweis des Hilfssatzes 2.

Aus den eben bewiesenen Hilfssätzen 1 und 2 leiten wir jetzt zwei weitere Hilfssätze 3 und 4 ab, in denen gewisse Gleichungen behauptet werden, die sich von den am Schlusse der Hilfssätze 1 und 2 aufgestellten hauptsächlich dadurch unterscheiden, daß auf ihrer linken Seite an Stelle der positiven Zahlen $X$ gewisse Zahlen $Y$ treten, für die auch negative Werte zulässig sind.

Hilfssatz 3. Zu jedem Exponenten $m$ gehören eine gewisse Anzahl $N$ positiver rationaler Zahlen

$r_{1}$, $r_{2}$, …, $r_{N}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 519. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/536&oldid=- (Version vom 19.2.2017)