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so folgt aus (14)

(, …, ).

Nehmen wir daher

,

so wird

Hilfssatz 2. Zu jedem Exponenten gehören wie in Hilfssatz 1 eine gewisse Anzahl positiver rationaler Zahlen

, , …, ,

sowie zwei positive ganze Zahlen , von folgender Eigenschaft:

Es seien , , Zahlen wie in Hilfssatz 1, es sei ferner eine positive ganze Zahl, die der Ungleichung

(17)

genügt, dann können zu diesen Größen , , , stets ganze Zahlen ()

, , …,

deren absolute Beträge den Ungleichungen

(, …, )

genügen, derart gefunden werden, daß die Gleichung

statthat.

Durch Differentiation von (16) nach entsteht eine Formel von der Gestalt

,

wo die eine nicht wesentlich veränderte Bedeutung haben. Ersetzen wir hierin durch und wenden dann die vorige Überlegung auf diese Formel statt auf (16) an, so ergibt sich der Beweis des Hilfssatzes 2.

Aus den eben bewiesenen Hilfssätzen 1 und 2 leiten wir jetzt zwei weitere Hilfssätze 3 und 4 ab, in denen gewisse Gleichungen behauptet werden, die sich von den am Schlusse der Hilfssätze 1 und 2 aufgestellten hauptsächlich dadurch unterscheiden, daß auf ihrer linken Seite an Stelle der positiven Zahlen gewisse Zahlen treten, für die auch negative Werte zulässig sind.

Hilfssatz 3. Zu jedem Exponenten gehören eine gewisse Anzahl positiver rationaler Zahlen

, , …, ,
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 519. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/536&oldid=- (Version vom 19.2.2017)