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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Es sei noch bemerkt, daß, wenn wir in der vorstehenden Überlegung an Stelle von $Q_{1}$ nicht eine beliebige der $M$ Linearformen $Q_{1}$ , …, $Q_{M}$ , sondern eine solche unter diesen $M$ Formen nehmen, für die die Quadratsumme der Koeffizienten am größten ausfällt, es leicht wegen der Identität (10) gelingt, für die betreffende Quadratsumme

q_{11}^{2}+\cdots +q_{15}^{2}

eine untere nur durch $m$ bedingte Schranke zu bestimmen, und daß aus dieser unteren Schranke wiederum ohne wesentliche Schwierigkeit eine obere Schranke $\sigma$ für denjenigen Spielraum abzuleiten ist, innerhalb dessen die Koeffizienten der Formen $S_{h}$ abgeändert werden dürfen, ohne daß die betreffenden Lösungen $u_{1}$ , …, $u_{M}$ negativ werden. Durch die Kenntnis von $\sigma$ aber ist es schließlich auch möglich, für die absoluten Werte der Zähler und Nenner der in der Formel des Satzes II auftretenden rationalen Zahlen $r_{h}$ und für die absoluten Werte der ganzen Zahlen $a_{kh}$ eine obere Schranke aufzufinden, die nur durch $m$ bedingt ist.

Die Formel des Satzes II bildet den Kernpunkt für den Beweis unseres Theorems. Sie läßt nämlich sofort aus der Gültigkeit des Waringschen Theorems für die $m$ -ten Potenzen auf seine Gültigkeit für die $2m$ -ten Potenzen schließen^[1]. Denn bezeichnen wir etwa den nur von $m$ abhängigen Generalnenner der in Formel (5) rechts auftretenden rationalen Zahlen $r_{h}$ mit $E$ , nehmen $x_{5}=0$ und beachten, daß jede Zahl sich als Summe von 4 Quadraten darstellen läßt, so lehrt Formel (5) sofort, daß jede durch $E$ teilbare positive ganze Zahl sich als Summe einer Anzahl von $2m$ -ten Potenzen darstellen läßt, die unterhalb einer nur von $m$ abhängigen Schranke liegt, vorausgesetzt, daß der Waringsche Satz für die $m$ -ten Potenzen gilt. Da jede positive ganze Zahl sich in der Form $H\cdot E+K$ darstellen läßt, wo $H$ und $K$ positiv ganz sind und $K<E$ ist, so folgt hieraus, da ja die Zahl $K$ eine Summe von höchstens $E-1$ Zahlen $1^{2m}$ ist, das Waringsche Theorem für die $2m$ -ten Potenzen.

Wir sehen somit, daß durch das Vorangehende das Waringsche Theorem gewiß für alle unendlich vielen Exponenten der Form $m=2^{v}$ bewiesen ist, da es für $m=2$ gilt. Um es allgemein für beliebige Exponenten zu beweisen, müssen wir der Reihe nach folgende 5 Hilfssätze entwickeln.

Hilfssatz 1. Zu jedem Exponenten $m$ gehören eine gewisse Anzahl $N$ positiver rationaler Zahlen

r_{1}

,

r_{2}

, …,

r_{N}

,

sowie zwei positive ganze Zahlen $a$ , $A$ von folgender Eigenschaft:

Es seien $x$ und $G$ beliebige positive ganze Zahlen und $\Gamma$ eine beliebige reelle

↑ Vgl. A. Hurwitz: Math. Annalen 65, 424–427 (1908).

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 517. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/534&oldid=- (Version vom 10.12.2016)

[1] Vgl. A. Hurwitz: Math. Annalen 65, 424–427 (1908).

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