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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Zahl $A$ ist, so sind dessen Lösungen eindeutig bestimmt; sie lauten wegen (11):

$u_{1}=\varrho _{1}$, …, $u_{M}=\varrho _{M}$

und sind folglich sämtlich positive Größen. Da nun die Lösungen eines linearen Gleichungssystems mit einer von Null verschiedenen Determinante stetige Funktionen der rechten Seiten der Gleichungen sind, so folgt, daß, wenn wir die Koeffizienten der Linearformen $S_{h}$ innerhalb eines gewissen genügend kleinen Spielraumes irgendwie abändem, die Lösungen $u_{1}$, …, $u_{M}$ des abgeänderten Gleichungssystemes ebenfalls noch sämtlich positive Zahlen bleiben. Wählen wir dabei die Koeffizienten innerhalb jenes Spielraums als rationale Zahlen, so müssen überdies die Lösungen $u_{1}$, …, $u_{M}$, da ja die Koeffizienten von $G_{h}$ sämtlich ganze rationale Zahlen sind, ebenfalls rational ausfallen. Bezeichnen $S'_{h}$ die an Stelle der $S_{h}$ tretenden Formen mit rationalen Koeffizienten und seien die betreffenden positiven rationalen Lösungen

$u_{1}=r_{1}$, …, $u_{M}=r_{M}$,

so gewinnen wir die Identität

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M}r_{h}G_{h}^{2m}(x)+\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M(M-1)}S_{h}^{\prime 2m}(x)$

oder, indem wir noch die in den Koeffizienten von $S'_{h}$ auftretenden Nenner herausziehen und die neu entstehenden Formen mit $G_{M+1}$,…, $G_{M^{2}}$ bezeichnen,

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M^{2}}r_{h}G_{h}^{2m}(x)$,

(12)

wo $r_{1}$, …, $r_{M^{2}}$ nun positive rationale Zahlen und die Koeffizienten der $G_{h}$ sämtlich ganze Zahlen sind.

Schließlich können wir noch auf diese Formel (12) ein analoges Reduktionsverfahren anwenden wie dasjenige, welches uns oben zu der Formel (8) führte. Wir bedenken, daß zwischen den Linearformen $G_{1}$, …, $G_{M+1}$ eine Identität von der Gestalt

$c_{1}G_{1}^{2m}(x)+\cdots +c_{M+1}G_{M+1}^{2m}(x)=0$

(13)

bestehen muß, wo $c_{1}$, …, $c_{M+1}$ jetzt rationale Zahlen sind, bestimmen alsdann eine rationale Zahl $c$ derart, daß unter den Zahlen

${\frac {cc_{1}}{r_{1}}}$, …, ${\frac {cc_{M+1}}{r_{M+1}}}$

eine gleich $1$ und die übrigen $\leqq 1$ werden. Subtrahieren wir nun die mit $c$ multiplizierte Identität (13) von der rechten Seite der Formel (12), so wird in der rechts entstehenden Summe einer der Koeffizienten Null, ohne daß einer der übrigen negativ ausfällt, so daß die neu entstandene Formel rechts gewiß einen Summanden weniger aufweist. Fahren wir in dieser Weise fort, so gelangen wir schließlich zu einer Formel, die alle in Satz II verlangten Eigenschaften besitzt. Damit ist der Beweis des Satzes II vollendet.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 516. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/533&oldid=- (Version vom 22.12.2016)