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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

ist gewiß möglich, da die Determinante

$A={\begin{vmatrix}a_{11}^{2m}&a_{21}^{2m}&\dots &a_{M1}^{2m}\\a_{11}^{2m-1}a_{12}&a_{21}^{2m-1}a_{22}&\dots &a_{M1}^{2m-1}a_{M2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{15}^{2m}&a_{25}^{2m}&\dots &a_{M5}^{2m}\\\end{vmatrix}}$

offenbar nicht identisch in allen Argumenten $a_{hk}$ Null ist und zur Erfüllung unserer Forderung nur nötig wird, die $a_{hk}$ als ganze rationale Zahlen so zu bestimmen, daß $A$ von Null verschieden ausfällt.

Nun sei in Formel (10) etwa $Q_{1}$ eine Linearform, deren Koeffizienten jedenfalls nicht sämtlich verschwinden, so daß

$q_{11}^{2}+\cdots +q_{15}^{2}$

eine positive von Null verschiedene Zahl wird. Setzen wir dann zur Abkürzung

$\alpha _{h}={\sqrt {\frac {q_{11}^{2}+\cdots +q_{15}^{2}}{q_{h1}^{2}+\cdots +q_{h5}^{2}}}}$

($h=1$, …, $M$),

so haben die $M$ Linearformen

$\alpha _{1}G_{1}$, …, $\alpha _{M}G_{M}$

sämtlich die nämliche Quadratsumme ihrer Koeffizienten wie $Q_{1}$; es gibt daher gewiß eine orthogonale Transformation der Variabeln $x_{1}$, …, $x_{5}$, welche $Q_{1}$ in $\alpha _{1}G_{1}$, ferner je eine solche orthogonale Transformation, die $Q_{1}$ in $\alpha _{2}G_{2}$, …, bzw. in $\alpha _{M}G_{M}$ überführt. Wenden wir diese $M$ orthogonalen Transformationen sämtlich der Reihe nach auf die Formel (10) an, addieren die so entstehenden $M$ Formeln und dividieren durch $M$, so wird, wenn wir noch

$\varrho _{1}={\frac {\alpha _{1}^{2m}}{M}}$, …, $\varrho _{M}={\frac {\alpha _{M}^{2m}}{M}}$

setzen:

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M}\varrho _{h}G_{h}^{2m}(x)+\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M(M-1)}S_{h}^{2m}(x)$,

(11)

wo die $S_{h}$ gewisse $M(M-1)$ Linearformen der $x_{1}$, …, $x_{5}$ sind, wie sie aus den $Q_{2}$, …, $Q_{M}$ durch jene orthogonalen Transformationen nach Hineinziehung des Faktors $\textstyle {\frac {1}{\sqrt[{2m}]{M}}}$ entstehen. Wir betrachten nun dasjenige System von $M$ linearen Gleichungen für die $M$ Unbekannten $u_{1}$, …, $u_{M}$, welches aus der Identität

$\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M}u_{h}G_{h}^{2m}(x)=(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}-\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M(M-1)}S_{h}^{2m}(x)$

entspringt, wenn man die nämlichen Potenzen und Produkte von Potenzen der Variabeln $x_{1}$, …, $x_{5}$ auf beiden Seiten gleich setzt. Da die Determinante dieses Gleichungssystems bis auf einen Zahlenfaktor die von Null verschiedene

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 515. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/532&oldid=- (Version vom 20.2.2017)