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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Der nächste Schritt besteht in der Ausführung des Grenzüberganges zu $\varepsilon =0$; dieser erfolgt leicht in der aus (7) und (8) entstehenden Formel

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}={\underset {\varepsilon =0}{\mathbf {L} }}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M}\left\{Q_{h}^{(\varepsilon )}(x)\right\}^{2m}$.

(9)

Zunächst ist nämlich klar, daß sämtliche Koeffizienten der Formen $Q_{h}^{(\varepsilon )}$ unterhalb endlicher von $\varepsilon$ unabhängiger Grenzen bleiben, sobald $\varepsilon$ gegen $0$ konvergiert; dies folgt aus den Limesgleichungen

$1={\underset {\varepsilon =0}{\mathbf {L} }}\left(q_{1k}^{(\varepsilon )2m}+q_{2k}^{(\varepsilon )2m}\right)+\cdots +q_{Mk}^{(\varepsilon )2m}$,

wie sie durch Vergleichung der Koeffizienten von $x_{k}^{2m}$ in (9) entstehen. Wegen des Umstandes, daß hiernach insbesondere $q_{11}^{(\varepsilon )}$ für alle $\varepsilon$ unterhalb einer endlichen Grenze bleibt, können wir für $\varepsilon$ eine gegen $0$ konvergierende Folge von positiven Werten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, $\cdots$ finden, derart, daß der Limes

${\underset {r=\infty }{\mathbf {L} }}q_{11}^{(\varepsilon _{r})}=q_{11}$

existiert. Da ferner, wie gezeigt, auch $q_{21}^{(\varepsilon )}$ unterhalb einer endlichen Grenze bleibt, so läßt sich wiederum aus jener Folge von Werten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, … eine Folge $\varepsilon '_{1}$, $\varepsilon '_{2}$, … herausgreifen, so daß auch der Limes

${\underset {r=\infty }{\mathbf {L} }}q_{21}^{(\varepsilon _{r}')}=q_{21}$

existiert. So fortfahrend erhalten wir schließlich nach 5 $M$-maliger Anwendung dieses Verfahrens eine gegen $0$ konvergierende Folge ${\overline {\varepsilon }}_{1}$, ${\overline {\varepsilon }}_{2}$, … derart, daß zugleich die sämtlichen Limesgleichungen

${\underset {r=\infty }{\mathbf {L} }}q_{hk}^{({\overline {\varepsilon }}_{r})}=q_{hk}$

($h=1$, …, $M$, $k=1$, …, $5$)

statthaben. Setzen wir sodann

$Q_{h}(x)=q_{h1}x_{1}+\cdots +q_{h5}x_{5}$

($h=1$, …, $M$),

so gilt wegen (9) identisch in den Variabeln $x_{1}$, …, $x_{5}$ die Formel

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M}Q_{h}^{2m}(x)$.

(10)

Diese Formel unterscheidet sich von der in Satz II behaupteten noch wesentlich dadurch, daß die Koeffizienten der Linearformen $Q_{h}$ keineswegs rationale Zahlen sind.

Der letzte entscheidende Schritt meiner Beweisführung wird darin bestehen, von der Formel (10) den Übergang zu einer Formel zu ermöglichen, in welcher alle auftretenden Zahlenkoeffizienten rational sind. Zu dem Zwecke verschaffen wir uns zunächst $M$ Linearformen

$G_{h}(x)=a_{h1}x_{1}+\cdots +a_{h5}x_{5}$

($h=1$, …, $M$),

mit ganzzahligen Koeffizienten $a_{hk}$, derart, daß zwischen ihren 2 $m$-ten Potenzen keine lineare Relation mit konstanten Koeffizienten stattfindet. Dies

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 514. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/531&oldid=- (Version vom 26.1.2019)