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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

in welcher

$\alpha _{11}={\frac {x_{1}}{\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2}}}}$, …, $\alpha _{51}={\frac {x_{5}}{\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2}}}}$

(4)

wird. Da die Kugel $S$ bei Anwendung dieser Substitution (3) unverändert bleibt, so geht das Integral der Formel (1) nach Einführung der Integrationsvariabeln $t'_{1}$, …, $t'_{5}$ über in

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}\int {\underset {(S)}{\cdots }}\int {t'_{1}}^{2m}dt'_{1}\cdots dt'_{5}$;

hierin ist offenbar das 5-fache Integral eine von $x_{1}$, …, $x_{5}$ unabhängige positive Zahl; setzen wir dieselbe gleich $\textstyle {\frac {1}{C}}$, so folgt die Formel (1) des Satzes I.

Satz II. Es sei wiederum $m$ eine beliebige positive ganze Zahl, dann gilt identisch in den 5 Variabeln $x_{1}$, …, $x_{5}$ eine Formel von der Gestalt

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{5}^{2})^{m}=\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,M}r_{h}(a_{1h}x_{1}+\cdots +a_{5h}x_{5})^{2m}$;

(5)

dabei ist zur Abkürzung

$M={\frac {(2m+1)(2m+2)(2m+3)(2m+4)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}$

gesetzt, ferner bedeuten $r_{1}$, …, $r_{M}$ gewisse positive rationale, durch $m$ bestimmte Zahlen und $a_{1h}$, …, $a_{5h}$ gewisse ganze, ebenfalls nur durch $m$ bestimmte Zahlen.

Der Beweis gründet sich auf die in Satz I aufgestellte Integralformel; von der letzteren ausgehend werden wir durch eine Reihe von Schritten schließlich zu der in Satz II behaupteten arithmetischen Identität gelangen.

Der erste Schritt besteht in der Approximation des 5-fachen Integrales

$C\int {\underset {(S)}{\cdots }}\int (t_{1}x_{1}+\cdots +t_{5}x_{5})^{2m}dt_{1}\cdots dt_{5}$

durch eine endliche Summe. Wir denken uns zu dem Zwecke den 5-dimensionalen Raum der Variabeln $t_{h}$ in 5-dimensionale Würfel von der Kantenlänge $\varepsilon$ zerlegt. Da der Bereich $S$ ganz im Endlichen gelegen ist, so fällt nur eine endliche Anzahl $H^{(\varepsilon )}$ dieser Würfel ins Innere von $S$. Bilden wir sodann für den Mittelpunkt eines jeden dieser Würfel den linearen Ausdruck

$t_{1}x_{1}+\cdots +t_{5}x_{5}$,

multiplizieren denselben mit dem Inhalt $\varepsilon ^{5}$ des Würfels sowie mit dem positiven Werte von ${\sqrt[{2m}]{C}}$, so entsteht aus dem Integral eine Summe von der Gestalt

$\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,H^{(\varepsilon )}}\left\{P_{h}^{(\varepsilon )}(x)\right\}^{2m}$,

(6)

wo die $P_{h}^{(\varepsilon )}$ gewisse $H^{(\varepsilon )}$ lineare Funktionen von $x_{1}$, …, $x_{5}$ bedeuten, deren Koeffizienten noch von $\varepsilon$ abhängen; zugleich gilt die Limesgleichung

$C\int {\underset {(S)}{\cdots }}\int (t_{1}x_{1}+\cdots +t_{5}x_{5})^{2m}dt_{1}dt_{2}\cdots dt_{5}={\underset {\varepsilon =0}{\mathbf {L} }}\sum \limits _{h=1,\,\ldots ,\,H^{(\varepsilon )}}\left\{P_{h}^{(\varepsilon )}(x)\right\}^{2m}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 512. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/529&oldid=- (Version vom 20.2.2017)