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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

2. $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann $1+i$ Faktor der Partialdiskriminante $d$. Setzen wir $\textstyle \omega ={\frac {\Omega \cdot S\Omega }{1+i}}$, so wird

$\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu \cdot \nu \left({\frac {1}{\Omega }}\right)}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }\right)\omega }{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }\right)}{1+i:\delta }}\right]\left[{\frac {\omega }{1+i:\delta }}\right]$;

nun ist

$\left[{\frac {\left(t_{\nu }t'_{\nu }\right)}{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }}$,

und eine leichte Rechnung zeigt, daß

$\left[{\frac {\omega }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t'_{\delta }+t''_{\delta }}$

wird. Mithin ergibt sich

$\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }+t'_{\delta }+t''_{\delta }}$.

Andrerseits ist aber

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }+t'_{\delta }+t''_{\delta }}$,

und wenn daher jenes erstere Symbol den Wert $+1$ hat, so ist auch

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.

Im Hauptfall III setzen wir $\nu \equiv \left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)$ und $\delta \equiv (1+i)\left(t_{\delta }t'_{\delta }\right)$ nach $(1+i)^{5}$ und unterscheiden dann wiederum 2 Unterfälle.

1. $t_{\nu }$, $t'_{\nu }$ sind beide gerade. Unter dieser Bedingung ist $1+i$ in der Partialdiskriminante $n$ des Körpers $K_{\nu }$ nicht enthalten. Wegen der Voraussetzung wird

$\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t''_{\nu }}=+1$.

Mithin ist $t''_{\nu }$ gerade, d. h. $\nu \equiv (000)$ nach $(1+i)^{5}$; hieraus folgt nach § 2, daß $1+i$ im Körper $K_{\nu }$ in zwei Primideale zerlegbar ist.

2. $t_{\nu }$ ,$t'_{\nu }$ sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann $1+i$ als Faktor in $n$ enthalten, und es wird

$\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }+t'_{\nu }+t''_{\nu }}$.

Wie vorhin im Unterfalle 2. des Hauptfalles II erhalten wir den nämlichen Wert für das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]$, und da das erstere den Wert $+1$ hat, so ist auch

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 34. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/51&oldid=- (Version vom 31.7.2018)