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2. , sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann Faktor der Partialdiskriminante . Setzen wir , so wird

;

nun ist

,

und eine leichte Rechnung zeigt, daß

wird. Mithin ergibt sich

.

Andrerseits ist aber

,

und wenn daher jenes erstere Symbol den Wert hat, so ist auch

.

Im Hauptfall III setzen wir und nach und unterscheiden dann wiederum 2 Unterfälle.

1. , sind beide gerade. Unter dieser Bedingung ist in der Partialdiskriminante des Körpers nicht enthalten. Wegen der Voraussetzung wird

.

Mithin ist gerade, d. h. nach ; hieraus folgt nach § 2, daß im Körper in zwei Primideale zerlegbar ist.

2. , sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann als Faktor in enthalten, und es wird

.

Wie vorhin im Unterfalle 2. des Hauptfalles II erhalten wir den nämlichen Wert für das Symbol , und da das erstere den Wert hat, so ist auch

.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 34. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/51&oldid=- (Version vom 31.7.2018)