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2. Die Anzahl der Idealklassen im Körper sei gleich .

Bei diesen Annahmen wird die Definition 1 des primären Ideals unverändert beibehalten, dagegen wird es nötig, den Begriff einer primären Zahl enger zu fassen.

Definition 5. Eine Zahl des Körpers heißt total positiv in , falls die zu konjugierten bez. in , , …, gelegenen Zahlen sämtlich positiv sind. Wenn eine zu prime Zahl des Körpers kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul ausfällt und wenn außerdem total positiv in ist, so heiße eine primäre Zahl des Körpers .

Bei Anwendung der so festgesetzten Bezeichnungsweise gilt der erste Ergänzungssatz 1 und das allgemeine Reziprozitätsgesetz 3 wiederum genau in der früheren Fassung und, wenn man in entsprechender Weise den Begriff der hyperprimären Zahl enger faßt, so bleibt auch der zweite Ergänzungssatz 2 in der früheren Fassung gültig.

§ 5.

Wir erörtern ferner die Frage, ob es unter den in §4 für den Körper zugrunde gelegten Annahmen relativquadratische unverzweigte Körper in bezug auf gibt. Zu dem Zwecke setzen wir zunächst allgemein fest, daß, wenn irgendeine Einheit in bedeutet, stets , , …, die zu konjugierten bez. in , , …, gelegenen Einheiten bezeichnen sollen.

Nunmehr nehmen wir : wie die Einheit fallen offenbar alle zu konjugierten Einheiten negativ aus. Ferner möge es in eine Einheit geben, welche in positiv ist, während mindestens eine der konjugierten Einheiten , …, negativ ausfällt; es sei etwa die in gelegene Einheit negativ. Sodann möge es in eine Einheit geben, welche positiv ist und für welche auch positiv wird, während mindestens eine der konjugierten Einheiten , , …, negativ ausfällt; es sei etwa die in gelegene Einheit negativ. In dieser Weise fahren wir fort; wir mögen schließlich eine Einheit erhalten von der Beschaffenheit, daß , , , …, sämtlich positiv sind, dagegen negativ ausfällt und nun soll das eingeschlagene Verfahren sein Ende erreicht haben, d. h. wenn irgendeine Einheit in nebst ihren konjugierten Einheiten , , …, positiv ausfällt, so sei nunmehr auch stets jede der übrigen konjugierten Einheiten , …, positiv.

Die Zahl erhält eine besonders einfache Bedeutung, wenn wir dem Äquivalenz- und Klassenbegriff eine engere Fassung erteilen als bisher geschehen ist. Wir wollen nämlich fortan zwei Ideale , des Körpers nur dann als äquivalent bezeichnen, wenn gesetzt werden kann, so daß eine ganze oder gebrochene Zahl in ist, die selbst nebst den sämtlichen bez. in

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 487. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/504&oldid=- (Version vom 31.7.2018)