David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 10

← 9.II Die Theorie der relativquadratisehen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.

David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 10. Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper.

11. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). →

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10. Über die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper^[1].

[Acta Mathematica Bd. 26, S. 99–132 (1902).]

§ 1.

In der Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper nehmen zunächst die Körper vom zweiten Relativgrade unser Interesse in Anspruch.

Es sei ein beliebiger Zahlkörper $k$ vom Grade $n$ als Rationalitätsbereich zugrunde gelegt; unsere Aufgabe ist es dann, die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper $K({\sqrt {\mu }})$, d. h. derjenigen Körper zu begründen, die durch die Quadratwurzel aus einer beliebigen ganzen Zahl $\mu$ des Körpers $k$ bestimmt sind. Die „disquisitiones arithmeticae“ von Gauss sind als der einfachste Fall in jenem Problem enthalten. Wir können unsern Gegenstand auch als die Theorie der quadratischen Gleichungen oder Formen bezeichnen, deren Koeffizienten Zahlen des vorgelegten Rationalitätsbereiches $k$ sind.

Die Theorie des relativquadratischen Körpers führte mich zur Entdeckung eines allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste, welches das gewöhnliche Reziprozitätsgesetz zwischen rationalen Primzahlen nur als ein vereinzeltes Glied in einer Kette sehr interessanter und mannigfaltiger Zahlenbeziehungen erscheinen läßt.

In meiner Abhandlung Über die Theorie des relativquadratischen Zahlkörpers^[2] habe ich die Theorie der quadratischen Relativkörper innerhalb eines algebraischen Grundkörpers $k$ vollständig für den Fall entwickelt, daß der Grundkörper $k$ nebst seinen sämtlichen konjugierten Körpern imaginär ist und überdies eine ungerade Klassenanzahl besitzt. Die wichtigsten der in der genannten Abhandlung aufgestellten Sätze sind das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste in $k$ und der Satz, demzufolge in einem relativquadratischen Körper in bezug auf $k$ stets die Hälfte aller denkbaren Charakterensysteme wirklich durch Geschlechter vertreten sind. Ich habe in jener Abhandlung zu zeigen versucht, welch ein Reichtum an arithmetischen Wahrheiten in diesen Sätzen enthalten ist; dennoch offenbart sich die volle Bedeutung der genannten Sätze erst, wenn wir ihre Gültigkeit auf beliebige algebraische Grundkörper $k$ ausdehnen. In einem auf der Mathematiker-Vereinigung zu Braunschweig gehaltenen Vortrage^[3] habe ich einige kurze Bemerkungen über den Fall gemacht, daß der Grundkörper $k$ reell ist, bzw. reelle konjugierte Körper aufweist oder die Klassenanzahl $2$ besitzt. In der gegenwärtigen Arbeit beabsichtige ich, die wichtigsten Sätze aus der Theorie der quadratischen Relativkörper innerhalb eines beliebigen Grundkörpers $k$ aufzustellen und zugleich die Abänderung anzugeben, welche die Beweise in meiner zu Anfang genannten Abhandlung erfahren müssen, wenn man für den Grundkörper $k$ die dort gemachten beschränkenden Annahmen beseitigen will.

Endlich habe ich im letzten Paragraph (§ 16) der gegenwärtigen Arbeit für relativ-Abelsche Zahlkörper von beliebigem Relativgrade und mit der Relativdiskriminante $1$ eine Reihe von allgemeinen Sätzen vermutungsweise aufgestellt; es sind dies Sätze von wunderbarer Einfachheit und kristallener Schönheit, deren vollständiger Beweis und gehörige Verallgemeinerung auf den Fall einer beliebigen Relativdiskriminiante mir als das Endziel der rein arithmetischen Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper erscheint.

§ 2.

Es sei $k$ ein beliebiger Zahlkörper; der Grad dieses Körpers $k$ heiße $m$ und die $m-1$ zu $k$ konjugierten Zahlkörper mögen mit $k'$, $k''$, …, $k^{(m-1)}$ bezeichnet werden. Die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k$ werde $h$ genannt. Wir übertragen das bekannte Symbol aus der Theorie der rationalen Zahlen auf den hier zu behandelnden Fall, wie folgt^[4]:

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein in $2$ nicht aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und $\alpha$ eine beliebige zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$: dann bedeute das Symbol $\textstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)$ den Wert $+1$ oder $-1$, je nachdem $\alpha$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent ist oder nicht. Ist ferner ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges zu $2$ primes Ideal in $k$ und hat man ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}\dots {\mathfrak {w}}$, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {w}}$ Primideale in $k$ sind und ist $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {a}}$ prime ganze Zahl in $k$, so möge das Symbol $\textstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)$ durch die folgende Gleichung definiert werden:

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)=\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {q}}}\right)\cdots \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {w}}}\right)$.

Sind ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ beliebige zu $2$ prime Ideale in $k$ und $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {ab}}$ prime ganze Zahl in $k$, so gilt offenbar die Gleichung

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)=\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)$.

Bezeichnet $\mu$ irgendeine ganze Zahl in $k$, die nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ist, so bestimmt ${\sqrt {\mu }}$ zusammen mit den Zahlen des Körpers $k$ einen Körper vom Grade $2m$, welcher relativquadratisch in bezug auf den Körper $k$ ist und mit $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ oder auch kurz mit $K$ bezeichnet werde. Sind in bezug auf $k$ mehrere relativquadratische Körper vorgelegt, so heißen dieselben voneinander unabhängig, sobald keiner derselben als Unterkörper in demjenigen Körper enthalten ist, der aus den übrigen durch Zusammensetzung entsteht.

Ein relativquadratischer Körper $K$ heiße unverzweigt in bezug auf $k$, wenn die Relativdiskriminante von $K$ in bezug auf $k$ gleich $1$ ausfällt oder, was das nämliche bedeutet, wenn es in $k$ kein Primideal gibt, das gleich dem Quadrat eines Primideals in $K$ wird.

§ 3.

Wir machen zunächst über den zugrunde gelegten Körper $k$ solche zwei Annahmen, unter denen die Theorie des relativquadratischen Körpers bereits in meiner Abhandlung ausführlich entwickelt worden ist; es sind dies folgende Annahmen:

1. Der Körper $k$ vom $m$-ten Grade sei nebst allen konjugierten Körpern $k'$, $k''$, …, $k^{m-1}$ imaginär.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen im Körper $k$ sei gleich $1$.

Wegen der späteren Ausführungen wiederholen wir hier die hauptsächlichsten in Frage kommenden Definitionen und Resultate in einer Fassung, die von der in meiner Abhandlung gegebenen Darstellung ein wenig abweicht.

Definition 1. Ein solches zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k$, in bezug auf das für jede Einheit $\xi$ in $k$

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt, heiße ein primäres Ideal.

Definition 2. Eine solche zu $2$ prime ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k$, welche kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, heiße eine primäre Zahl des Körpers $k$.

Wir können dann den wesentlichen Inhalt des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz wie folgt aussprechen:

Satz 1. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein primäres Ideal in $k$ ist, so gibt es stets eine primäre Zahl $\alpha$, so daß ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ wird, und umgekehrt: wenn $\alpha$ eine primäre Zahl in $k$ ist, so ist das Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ stets ein primäres Ideal.

Wir zerlegen nun die Zahl $2$ im Körper $k$ in Primideale wie folgt:

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$,

wo ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoten der Zahl $2$ in $k$ und $l_{1}$, $l_{2}$, …, $l_{z}$ die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl $2$ aufgehen.

Definition 3. Ein solches zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k$, in bezug auf das nicht nur für jede Einheit $\xi$ in $k$, sondern auch für jede in $2$ aufgehende ganze Zahl $\lambda$ des Körpers $k$

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\qquad \left({\frac {\lambda }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt, heilße ein hyperprimäres Ideal.

Definition 4. Eine solche zu $2$ prime Zahl $\alpha$ des Körpers $k$, welche kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ ausfällt, heiße eine hyperprimäre Zahl des Körpers $k.$

Wir können dann den wesentlichen Inhalt des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz wie folgt aussprechen:

Satz 2. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein hyperprimäres Ideal in $k$ ist, so gibt es stets eine hyperprimäre Zahl $\alpha$, so daß ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ wird, und umgekehrt: wenn $\alpha$ eine hyperprimäre Zahl in $k$ ist, so ist das Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ stets ein hyperprimäres Ideal.

Der wesentliche Inhalt des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper $k$ lautet wie folgt:

Satz 3. Wenn $\nu$, $\mu$, $\nu '$, $\mu '$ irgendwelche zu zwei prime ganze Zahlen in $k$ sind derart, daß die beiden Produkte $\nu \nu '$ und $\mu \mu '$ primär ausfallen und $\nu$ zu $\mu$, $\nu '$ zu $\mu '$ prim ist, so ist stets

$\left({\frac {\nu }{\mu }}\right)\left({\frac {\mu }{\nu }}\right)=\left({\frac {\nu '}{\mu '}}\right)\left({\frac {\mu '}{\nu '}}\right)$

Wenn die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k$ nicht gleich $1$, sondern eine beliebige ungerade Zahl ist, so wird nur eine geringfügige und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmende Abänderung im Ausdrucke der Sätze 1 bis 3 notwendig.

Satz 4. Jede Einheit in $k$, welche primär (eine primäre Zahl) ist, ist das Quadrat einer Einheit in $k$.

Satz 5. Es gibt in bezug auf $k$ keinen relativquadratischen unverzweigten Körper.

Die beiden letzten Sätze gelten unverändert für den Fall, daß die Klassenanzahl $h$ des Körpers $k$ eine beliebige ungerade Zahl ist.

§ 4.

Wir legen nunmehr für den Körper $k$ folgende Annahmen zugrunde:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k$, $k'$, $k''$, …, $k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s(>0)$ reeller Körper; seien dies die Körper $k$, $k'$, $k''$, …, $k^{(s-1)}.$

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen im Körper $k$ sei gleich $1$.

Bei diesen Annahmen wird die Definition 1 des primären Ideals unverändert beibehalten, dagegen wird es nötig, den Begriff einer primären Zahl enger zu fassen.

Definition 5. Eine Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ heißt total positiv in $k$, falls die $s$ zu $\alpha$ konjugierten bez. in $k$, $k'$, …, $k^{(s-1)}$ gelegenen Zahlen sämtlich positiv sind. Wenn eine zu $2$ prime Zahl $\alpha$ des Körpers $k$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt und wenn außerdem $\alpha$ total positiv in $k$ ist, so heiße $\alpha$ eine primäre Zahl des Körpers $k$.

Bei Anwendung der so festgesetzten Bezeichnungsweise gilt der erste Ergänzungssatz 1 und das allgemeine Reziprozitätsgesetz 3 wiederum genau in der früheren Fassung und, wenn man in entsprechender Weise den Begriff der hyperprimären Zahl enger faßt, so bleibt auch der zweite Ergänzungssatz 2 in der früheren Fassung gültig.

§ 5.

Wir erörtern ferner die Frage, ob es unter den in §4 für den Körper $k$ zugrunde gelegten Annahmen relativquadratische unverzweigte Körper in bezug auf $k$ gibt. Zu dem Zwecke setzen wir zunächst allgemein fest, daß, wenn $\varepsilon$ irgendeine Einheit in $k$ bedeutet, stets $\varepsilon '$, $\varepsilon ''$, …, $\varepsilon ^{(s-1)}$ die zu $\varepsilon$ konjugierten bez. in $k'$, $k''$, …, $k^{(s-1)}$ gelegenen Einheiten bezeichnen sollen.

Nunmehr nehmen wir $\varepsilon _{1}=-1$: wie die Einheit $\varepsilon _{1}$ fallen offenbar alle zu $\varepsilon _{1}$ konjugierten Einheiten negativ aus. Ferner möge es in $k$ eine Einheit $\varepsilon _{2}$ geben, welche in $k$ positiv ist, während mindestens eine der konjugierten Einheiten $\varepsilon _{2}'$, …, $\varepsilon _{2}^{(s-1)}$ negativ ausfällt; es sei etwa die in $k'$ gelegene Einheit $\varepsilon _{2}'$ negativ. Sodann möge es in $k$ eine Einheit $\varepsilon _{3}$ geben, welche positiv ist und für welche auch $\varepsilon _{3}'$ positiv wird, während mindestens eine der konjugierten Einheiten $\varepsilon _{3}''$, $\varepsilon _{3}'''$, …, $\varepsilon _{3}^{(s-1)}$ negativ ausfällt; es sei etwa die in $k''$ gelegene Einheit $\varepsilon _{3}''$ negativ. In dieser Weise fahren wir fort; wir mögen schließlich eine Einheit $\varepsilon _{p}(p\leqq s)$ erhalten von der Beschaffenheit, daß $\varepsilon _{p}$, $\varepsilon _{p}'$, $\varepsilon _{p}''$, …, $\varepsilon _{p}^{(p-2)}$ sämtlich positiv sind, dagegen $\varepsilon _{p}^{(p-1)}$ negativ ausfällt und nun soll das eingeschlagene Verfahren sein Ende erreicht haben, d. h. wenn irgendeine Einheit $\varepsilon$ in $k$ nebst ihren $p-1$ konjugierten Einheiten $\varepsilon '$, $\varepsilon ''$, …, $\varepsilon ^{(p-1)}$ positiv ausfällt, so sei nunmehr auch stets jede der übrigen $s-p$ konjugierten Einheiten $\varepsilon ^{(p)}$, …, $\varepsilon ^{(s-1)}$ positiv.

Die Zahl $s-p$ erhält eine besonders einfache Bedeutung, wenn wir dem Äquivalenz- und Klassenbegriff eine engere Fassung erteilen als bisher geschehen ist. Wir wollen nämlich fortan zwei Ideale ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {k}}$ des Körpers $k$ nur dann als äquivalent bezeichnen, wenn $\textstyle {\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {k}}}=\alpha$ gesetzt werden kann, so daß $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k$ ist, die selbst nebst den sämtlichen bez. in $k'$, $k''$, …, $k^{(s-1)}$ gelegenen zu $\alpha$ konjugierten Zahlen $\alpha '$, $\alpha ''$, …, $\alpha ^{(s-1)}$ positiv ausfällt, d. h., die total positiv in $k$ ist. Rechnen wir alle solchen Ideale des Körpers $k$, die in diesem engeren Sinne untereinander äquivalent sind, zu einer Klasse, so besitzt der Körper $k$, wie leicht ersichtlich ist, genau ${\overline {h}}=2^{s-p}$ Idealklassen.

Nach diesen Vorbereitungen findet die oben aufgeworfene Frage nach den unverzweigten Körpern in bezug auf $k$ in folgender Weise ihre Beantwortung:

Satz 6. Für den Körper $k$ gibt es ein System von $s-p$ unabhängigen relativquadratischen unverzweigten Körpern in bezug auf $k.$ Durch Zusammensetzung dieser $s-p$ Körper entsteht ein Körper $Kk$ vom Relativgrade ${\overline {h}}=2^{s-p}$ in bezug auf $k$, der sämtliche unverzweigten Körper in bezug auf $k$ als Unterkörper enthält und der Klassenkörper von $k$ heißen möge. Die Anzahl ${\overline {H}}$ der Idealklassen dieses Körpers $Kk$ ist, auch wenn wir den Klassenbegriff in der vorhin (für $k$) angegebenen engeren Fassung nehmen, stets eine ungerade Zahl^[5].

Eine der merkwürdigsten Eigenschaften des Klassenkörpers $Kk$ besteht darin, daß die Primideale des Körpers $k$, welche einer und der nämlichen Idealklasse von $k$ engeren Sinne angehören, im Klassenkörper $Kk$ stets die nämliche Zerlegung in Primideale dieses Körpers $Kk$ erfahren, d. h. so daß die Anzahl der verschiedenen Primideale und ihre Grade die gleichen sind; die Zerlegung eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ im Körper $Kk$ hängt somit nur von der Klasse ab, der das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ angehört.

§ 6.

Um die genannten Tatsachen zu beweisen und unter den in § 4 gemachten Annahmen die Theorie des relativquadratischen Körpers in bezug auf $k$ vollständig auszubauen, bedürfen wir eines Symbols, welches ich bereits in meinem in Braunschweig gehaltenen Vortrage erklärt habe.

Definition 6. Es sei ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal in $k$, und es seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen in $k$, nur daß $\mu$ nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ausfällt; wenn dann $\nu$ nach ${\mathfrak {w}}$ der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von ${\mathfrak {w}}$ stets eine solche ganze Zahl $A$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ gefunden werden kann, daß $\nu \equiv N(A)$ nach jener Potenz von ${\mathfrak {w}}$ ausfällt, so setze ich

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$;

in jedem anderen Falle dagegen

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=-1$.

Fällt $\mu$ gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl $(\neq 0)$ in $k$ aus, so werde stets

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

gesetzt. Ferner definieren wir noch die $s$ Symbole

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1}}\right),\left({\frac {\nu ,\mu }{1'}}\right),\dots ,\left({\frac {\nu ,\mu }{1^{(s-1)}}}\right)$;

wir setzen stets

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1}}\right)=+1$,

wenn wenigstens eine der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ positiv ausfällt; dagegen setzen wir

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1}}\right)=-1$,

wenn jede der beiden Zahlen $\nu ,\mu$ negativ ausfällt. Ferner bezeichnen wir allgemein die in $k^{(i)}$ gelegenen zu $\nu ,\mu$ konjugierten Zahlen bez. mit $\nu ^{(i)},\mu ^{(i)}$ und setzen

$\left({\frac {\nu ,\mu }{1'}}\right)=\left({\frac {\nu ',\mu '}{1}}\right),\qquad \left({\frac {\nu ,\mu }{1''}}\right)=\left({\frac {\nu '',\mu ''}{1}}\right),\dots ,\left({\frac {\nu ,\mu }{1^{(s-1)}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{(s-1)},\mu ^{(s-1)}}{1}}\right)$.

Ist nun ein bestimmter relativquadratischer Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in bezug auf $k$ vorgelegt, so wird eine naturgemäße Definition des Geschlechtsbegriffes aus der Definition 12 meiner Abhandlung gewonnen, wenn man sich des verallgemeinerten Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)$ bedient, wo $\omega$ die in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale und überdies diejenigen Zeichen $1^{(i)}$ durchläuft, wofür die in $k^{(i)}$ gelegene zu $\mu$ konjugierte Zahl $\mu ^{(i)}$ negativ ausfällt. Es gelingt dann ohne erhebliche Schwierigkeit die ganze in meiner Abhandlung entwickelte Theorie der relativquadratischen Körper auf den hier in Rede stehenden Fall, daß der Körper $k$ die in § 4 gemachten Annahmen erfüllt, auszudehnen.

Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper $k$ erhält mit Benutzung des erweiterten Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)$ die folgende einfache Fassung:

Satz 7. Wenn $\nu ,\mu$ beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ in $k$ sind, so ist stets

$\prod _{(\omega )}{\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)}=+1$,

wo das Produkt über sämtliche Primideale $\omega ={\mathfrak {w}}$ in $k$ und über die $s$ Zeichen $\omega =1,1',1'',\dots ,1^{(s-1)}$ erstreckt werden soll.

Auch die Sätze 41, 64, 65, 67 in meiner Abhandlung lassen sich mit Hilfe des erweiterten Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\omega }}\right)$ unmittelbar auf den Fall des hier betrachteten Grundkörpers $k$ übertragen.

Wenn die in ursprünglichem Sinne verstandene Klassenzahl $h$ des Körpers $k$ nicht $1$, sondern irgendeine ungerade Zahl ist, so bedürfen die Sätze in § 4 bis § 6 nur einer geringen und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmenden Abänderung.

§ 7.

Wenn für den Körper $k$ insbesondere $s-p=0$ ausfällt, so wird ${\overline {h}}=1$ und Satz 6 lehrt dann, das es keinen unverzweigten Körper in bezug auf $k$ gibt. Wir wollen den nächst einfachen Fall $s-p=1,{\overline {h}}=2$ betrachten und vor allem die am Schluß von § 5 angedeuteten Gesetze der Zerlegung der Primideale in $k$ näher erörtern. Es mögen daher fortan für den Grundkörper $k$ folgende speziellere Annahmen gelten:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k,k',k'',\dots ,k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s(>0)$ reelle Körper; es seien dies die Körper $k,k',k'',\dots ,k^{(s-1)}$.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des Körpers $k$, im ursprünglichen weiteren Sinne verstanden, sei gleich $1$; die Anzahl ${\overline {h}}$ der Idealklassen des Körpers $k$, im engeren Sinne verstanden, sei gleich $2$.

Unter diesen Annahmen ist der in § 5 erwähnte Klassenkörper $Kk$ relativquadratisch und besitzt folgende Eigenschaften:

Satz 8a. Der Klassenkörper $Kk$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$ d. h. er ist unverzweigt in bezug auf $k$.

Satz 8b. Die Klassenanzahl ${\overline {H}}$ des Klassenkörpers $Kk$, in engerem Sinne verstanden, ist ungerade.

Satz 8c. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale im engeren Sinne sind, zerfallen in $Kk$ in das Produkt zweier Primideale. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale im engeren Sinne sind, bleiben in $Kk$ Primideale.

Von diesen drei Eigenschaften 8a, 8b, 8c charakterisiert jede für sich allein bei unseren Annahmen über den Körper $k$ in eindeutiger Weise den Klassenkörper $Kk$·

Zum Beweise der Existenz des Klassenkörpers $Kk$ ist es erforderlich zu zeigen, daß es unter den hier gemachten Annahmen stets eine Einheit $\varepsilon$ in $k$ gibt, die kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, ohne daß sie das Quadrat einer Einheit in $k$ wird. Der verlangte Klassenkörper $Kk$ ist dann der Körper $K({\sqrt {\varepsilon }})$. Der Beweis für die Existenz einer solchen Einheit $\varepsilon$ läßt sich durch eine ähnliche Schlußweise führen, wie sie in: § 9 beim Beweise der Sätze 9a, 9b, 9c angewandt werden wird.

§ 8.

Im weiteren Verlaufe dieser Untersuchung wollen wir für einige andere Fälle die Gesetze der Zerlegung der Primideale des Grundkörpers $k$ im Klassenkörper $Kk$ genau erörtern und die Beweise der aufgestellten Behauptungen erbringen. Es mögen in diesem Paragraphen für die Grundkörper $k$ folgende spezielle Annahmen gelten:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k,k',k'',\dots ,k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s$ reeller Körper.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des Körpers $k$, im ursprünglichen weiteren Sinne, stimme mit der im engeren Sinne verstandenen Klassenanzahl ${\overline {h}}$ überein und sei gleich $2$.

Unter diesen Annahmen ist der Klassenkörper $Kk$ relativquadratisch und besitzt folgende Eigenschaften:

Satz 9a. Der Klassenkörper $Kk$ ist unverzweigt in bezug auf $k$, d. h. er hat die Relativdiskiminante $1$ in bezug auf $k$.

Satz 9b. Die Klassenanzahl $H$ und ${\overline {H}}$ des Klessenkörpers $Kk$, im weiteren sowie im engeren Sinne verstanden, sind ungerade ($H={\overline {H}}$).

Satz 9c. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, zerfallen in $Kk$ in das Produkt zweier Primideale. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, bleiben in $Kk$ Primideale; sie werden jedoch in $Kk$ Hauptideale.

Von diesen drei Eigenschaften 9a, 9b, 9c charakterisiert jede für sich allein bei unseren Annahmen über den Körper $k$ in eindeutiger Weise den Klassenkörper $Kk$; wir haben somit die Sätze:

Satz 10a. Es gibt außer $Kk$ keinen anderen relativquadratischen Körper, der in bezug auf $k$ unverzweigt ist.

Satz 10b. Wenn ein zu $k$ relativquadratischer Körper eine ungerade Klassenzahl hat, so stimmt derselbe mit dem Klassenkörper $Kk$ überein.

Satz 10c. Wenn alle Primideale in $k$, die in $k$ Hauptideale sind, in einem relativquadratischen Körper zerfallen, oder wenn alle Primideale in $k$, die in $k$ nicht Hauptideale sind, in einem relativquadratischen Körper Primideale bleiben, so folgt jedesmal, daß dieser relativquadratische Körper kein anderer als der Klassenkörper $Kk$ ist.

§ 9.

Um die Existenz des Klassenkörpers $Kk$ und sodann die Sätze 9a, 9b, 9c zu beweisen, machen wir der Kürze halber die Annahme, daß der Grundkörper $k$ und seine sämtlichen konjugierten Körper imaginär sind und nennen dann wie in § 3 eine ganze Zahl in $k$ primär wenn sie zu $2$ prim ist und dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent ausfällt.

Wir bestimmen jetzt ein System von Grundeinheiten in $k$ und bezeichnen dieselben mit $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$; ferner sei ${\mathfrak {r}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$, welches nicht der Hauptklasse in $k$ angehört, und es werde ${\mathfrak {r}}^{2}=(\rho )$ gesetzt, wo $\rho$ eine gewisse ganze Zahl in $k$ bedeutet. Fügen wir sodann den obigen ${\frac {m}{2}}-1$ Einheiten noch folgende Zahlen hinzu

$\varepsilon _{\frac {m}{2}}=-1,\qquad \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}=\rho$,

so bilden die ${\frac {m}{2}}+1$ Zahlen $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ ein System von Zahlen dieser Beschaffenheit: jede ganze Zahl $\xi$ in $k$, welche das Quadrat eines Ideals in $k$ ist, läßt sich in der Gestalt

$\xi =\varepsilon _{1}^{x_{1}}\varepsilon _{2}^{x_{2}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{x_{{\frac {m}{2}}+1}}\alpha ^{2}$

darstellen, wo die Exponenten $x_{1},x_{2},\dots ,x_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Werte $0,1$ haben und $\alpha$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $k$ bedeutet.

Endlich bestimmen wir mit Hinblick auf Satz 18 meiner Abhandlung ein System von Primidealen ${\mathfrak {q}}_{1},{\mathfrak {q}}_{2},\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ in $k$, die zu $2$ prim sind, so daß

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{j}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1,\qquad \left(i\neq j\right)\qquad \left(i,j=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}+1\right)$

(1)

ausfällt und zu diesen solche Exponenten $w_{1},w_{2},\dots ,w_{{\frac {m}{2}}+1}$ mit Werten $0,1$, daß die Produkte

${\mathfrak {q}}_{1}{\mathfrak {r}}^{w_{1}},{\mathfrak {q}}_{2}{\mathfrak {r}}^{w_{2}},\cdots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}{\mathfrak {r}}^{w_{{\frac {m}{2}}+1}}$

Hauptideale in $k$ werden; es sei etwa

${\mathfrak {q}}_{1}{\mathfrak {r}}^{w_{1}}=(\kappa _{1}),\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}{\mathfrak {r}}^{w_{{\frac {m}{2}}+1}}=(\kappa _{{\frac {m}{2}}+1})$,

wo $\kappa _{1},\dots ,\kappa _{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse ganze Zahlen in $k$ sind.

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir den Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{u_{{\frac {m}{2}}+1}}\kappa _{1}^{v_{1}}\cdots \kappa _{{\frac {m}{2}}+1}^{v_{{\frac {m}{2}}+1}};$

(2)

derselbe stellt, wenn man rechter Hand für die Exponenten $u_{1},\dots ,u_{{\frac {m}{2}}+1}$ beliebige Werte $0$, $1$ und für die Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ irgendwelche der Kongruenzbedingung

$v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}\cdots v_{{\frac {m}{2}}+1}w_{{\frac {m}{2}}+1}\equiv 0,\qquad$

(2) (3)

genügende Werte $0,1$ nimmt, im Ganzen $2^{m+1}$ Zahlen dar. Rechnet man jetzt allgemein zwei ganze zu $2$ prime Zahlen $\omega _{1},\omega _{2}$ in $k$ zu derselben Art, wenn ihr Produkt $\omega _{1}\omega _{2}$ eine primäre Zahl ist, so lehrt die Betrachtung am Schlusse von § 21 meiner Abhandlung, daß es im Körper $k$ genau $2^{m}$ verschiedene Arten von Zahlen gibt und es müssen also unter den Zahlen von der Gestalt (2) notwendig wenigstens zwei Zahlen vorhanden sein, die derselben Art angehören. Das Produkt zweier solcher Zahlen ist eine primäre Zahl von der Gestalt

$\omega =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{u_{{\frac {m}{2}}+1}}\kappa _{1}^{v_{1}}\cdots \kappa _{{\frac {m}{2}}+1}^{v_{{\frac {m}{2}}+1}}\alpha ^{2}$,

(4)

wo die Exponenten $u_{1},\dots ,u_{{\frac {m}{2}}+1},v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet.

Wenn in dem Ausdrucke (4) für die Zahl $\omega$ die Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ sämtlich sich gleich $0$ herausstellten, so wäre nach Satz 4 und 5 meiner Abhandlung der Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ein in bezug auf $k$ unverzweigter relativquadratischer Körper und somit der verlangte Beweis für die Existenz des Klassenkörpers mit der Eigenschaft 9a erbracht.

Wir nehmen nun im Gegenteil an, es habe wenigstens einer der Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ den Wert $1$, und zwar sei $t$ deren genaue Anzahl; es sei etwa $v_{i_{1}}=1,v_{i_{2}}=1,\dots ,v_{i_{t}}=1$, wo die Indizes $i_{1},i_{2},\dots ,i_{t}$, gewisse $t$ Zahlen der Reihe $1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}+1$ bedeuten. Bei dieser Annahme müssen die $t$ Primideale ${\mathfrak {q}}_{i_{1}},{\mathfrak {q}}_{i_{2}},\dots ,{\mathfrak {q}}_{i_{t}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ aufgehen; wegen der Bedingung (3) und da $\omega$ primär ist, folgt ferner, daß es außer diesen $t$ Primidealen kein weiteres gibt, welches in der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ enthalten wäre. Die genannten $t$ Primideale des Körpers $k$ werden bez. die Quadrate gewisser $t$ ambiger Primideale des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$, und die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$, fällt daher genau gleich $2^{t}$ aus. Auch die weiteren Bezeichnungen des Satzes 22 in § 15 meiner Abhandlung benutzen wir: es möge der Körper $k$ genau $2^{v^{*}}$ Einheitenverbände besitzen, die aus Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ entspringen, und es sei $2^{a^{*}}$ die Anzahl der ambigen Klassen, in denen ambige Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ enthalten sind.

Was das Verhalten der Ideale des Körpers $k$ im Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ betrifft, so sind hier die folgenden zwei Fälle möglich:

I. Die Ideale des Körpers $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, werden in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ Hauptideale.

II. Die Ideale des Körpers $k$, welche in $k$ nicht Hauptideale sind, werden auch in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ nicht Hauptideale.

Indem wir das Verfahren, welches ich in meiner Abhandlung beim Beweise des Satzes 22 angewendet habe, auf den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ übertragen, finden wir leicht im Falle I die Gleichung

$a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}$

(5)

und im Falle II die Gleichung

$a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}-1$

(6)

§ 10.

Wir wollen ferner für die Zahl $v^{*}$ eine obere von $t$ und $m$ abhängige Grenze ableiten. Zu dem Zweck mögen $x_{1},\dots ,x_{\frac {m}{2}}$ irgendwelche Exponenten $0,1$ bedeuten; soll dann die Einheit

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{x_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{x_{\frac {m}{2}}}$

die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ sein, so müssen notwendig die $t$ Bedingungen

$\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {q}}_{i_{1}}}}\right)=+1,\dots ,\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {q}}_{i_{t}}}}\right)=+1$

(7)

erfüllt sein.

Wir stellen nun der Reihe nach folgende Hilfssätze auf, welche für beide Fälle I, II gelten:

Hilfssatz 1 Jede Einheit $s$ des Körpers $k$, die den Bedingungen (7) genügt, ist notwendig die Relativnorm einer Einheit des Relativkörpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$.

Zum Beweise dieses Hilfssatzes unterscheiden wir, ob unter den Indizes $i_{1},\dots ,i_{t}$ die Zahl ${\frac {m}{2}}+1$ vorkommt oder nicht. Im ersteren Falle sei $i_{t}={\frac {m}{2}}+1$. Wir schließen dann aus (7) mit Rücksicht auf (1), daß gewiß die Gleichungen

$x_{i_{1}}=0,\dots ,x_{i_{t-1}}=0$

bestehen müssen, und hieraus entnehmen wir, das die Anzahl $v^{*}$ der voneinander unabhängigen Einheitenverbände welche aus den Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ entspringen, höchstens gleich ${\frac {m}{2}}-t+1$ ist.

Kommt andererseits unter den Indizes $i_{1},\dots ,i_{t}$ die Zahl ${\frac {m}{2}}+1$ nicht vor, so schließen wir auf die nämliche Weise

$x_{i_{1}}=0,\dots ,x_{i_{t}}=0$

und mithin ist die Anzahl $v^{*}$ der voneinander unabhängigen Einheitenverbände, welche aus den Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ entspringen, in diesem Falle höchstens gleich ${\frac {m}{2}}-t$.

Wir erkennen leicht, daß im Falle I unter den Indizes $i_{1},\dots ,i_{t}$ die Zahl ${\frac {m}{2}}+1$ nicht vorkommen kann. Wäre nämlich im Gegenteil das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ enthalten und bezeichnet $P$ die ganze Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$, welche das Ideal ${\mathfrak {r}}$ darstellt, so muß die Relativnorm dieser Zahl $P$ gleich einer Zahl in $k$ von der Gestalt $\varepsilon \rho$ werden, wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ bezeichnet und $\rho =\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ die früher festgesetzte Bedeutung hat. Die hieraus folgende Bedingungsgleichung

$\left({\frac {\varepsilon \rho }{{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}}{{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}}}\right)$

steht im Widerspruch mit der in (1) getroffenen Festsetzung für das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$.

Die bisherigen Überlegungen führen im Falle I zu der Ungleichung

$v^{*}\leqq {\frac {m}{2}}-t$

(8)

und im Falle II zu der Ungleichung

$v^{*}\leqq {\frac {m}{2}}-t+1$

(9)

Die Gleichungen (5), (6) und die Ungleichungen (8), (9) zeigen, daß in beiden Fällen I und II die Ungleichung $a^{*}\leqq 0$ gilt und da gewiß euch $a^{*}\geqq 0$ sein muß, so folgt notwendig $a^{*}=0$, d. h. es ist im Falle I

$v^{*}={\frac {m}{2}}-t$.

(10)

und im Falle II

$v^{*}={\frac {m}{2}}-t+1$.

(11)

Nunmehr können wir auch einsehen, daß im Falle II das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ vorkommen muß. Wäre nämlich im Gegenteil die Zahl ${\frac {m}{2}}+1$ unter den Indizes $i_{1},\dots ,i_{t}$ nicht enthalten, so müßte, wie die vorhin angestellte Überlegung zeigt, die Ungleichung (8) gelten, was der Gleichung (11) widerspricht.

Wir sehen mit Rücksicht hierauf, daß die Einheiten $\varepsilon$ in $k$, welche den Bedingungen (7) genügen, im Falle I genau ${\frac {m}{2}}-t$ und im Falle II genau ${\frac {m}{2}}-t+1$ voneinander unabhängige Einheitenverbände ausmachen. Da diese Zahl wegen (10), (11) in beiden Fällen I, II gleich $v^{*}$ ausfällt, so liefern jene Einheiten $\varepsilon$ im ganzen $2^{v^{*}}$ Einheitenverbände; dieselben müssen daher mit denjenigen Einheitenverbänden übereinstimmen, deren Einheiten Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ sind, d. h. in beiden Fällen I, II ist jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, die den Bedingungen (7) genügt, notwendig die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ und damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.

Hilfssatz 2 Wenn ${\mathfrak {J}}$ ein Ideal in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, dessen Quadrat einem Ideal in $k$ äquivalent ausfällt, so ist auch ${\mathfrak {J}}$ stets einem Ideal in $k$ äquivalent.

Beim Beweise verstehen wir unter $S$ die Relativsubstitution $\left({\sqrt {\omega }}:-{\sqrt {\omega }}\right)$ und unter $N$ die Relativnorm einer Zahl oder eines Ideals in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$. Da die Relativnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$

$N\left({\mathfrak {J}}\right)={\mathfrak {J}}.S{\mathfrak {J}}$

jedenfalls ein Ideal in $k$ ist und nach Voraussetzung ${\mathfrak {J}}^{2}$ einem Ideal in $k$ äquivalent sein soll, so folgt, das auch der Idealquotient ${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ einem Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$äquivalent sein muß.

Im Falle I ist ${\mathfrak {j}}$ gewiß in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ein Hauptideal. Wir beweisen andererseits, daß im Falle II das Ideal ${\mathfrak {j}}$ im Körper $k$ Hauptideal ist. Wäre nämlich ${\mathfrak {j}}$ in $k$ nicht Hauptideal, so wäre ${\mathfrak {jr}}\sim 1$, wo ${\mathfrak {r}}$ die früher festgesetzte Bedeutung hat; setzen wir dann

${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}{\mathfrak {r}}=A$,

wo $A$ eine gebrochene Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, so folgt offenbar, indem wir auf beiden Seiten die Relativnorm bilden,

$\varepsilon \rho =N\left(A\right)$,

(12)

wo $\varepsilon$ eine Einheit und $\rho =\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ die früher bestimmte Zahl in $k$ bezeichnet. Da das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ im Falle II in der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ vorkommt, so erhalten wir wegen (12) die Gleichung

$\left({\frac {\varepsilon \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}}{{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}}}\right)=+1$,

und diese widerspricht der in (1) getroffenen Festsetzung für das Primideal ${\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$.

Wir haben somit erkannt, daß in beiden Fällen I, II der Idealquotient ${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ äquivalent $1$ ausfällt; wir setzen demgemäß

${\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}=A$,

(13)

wo $A$ eine ganze oder gebrochene Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist. Bilden wir dann die Relativnorm

$\varepsilon =N(A)$,

(14)

so ist $\varepsilon$ eine Einheit in $k$, die den Bedingungen (7) genügen muß und diese Einheit $\varepsilon$ wird daher nach dem oben bewiesenen Hilfssatz 1 gleich der Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$; wir setzen

$\varepsilon =N(E^{-1})$,

(15)

wo $E$ eine Einheit in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist. Aus (14) und (15) folgt

$N(AE)=1$.

(16)

Setzen wir

$B=1+S(AE)$,

(bez. $B=1$, wenn etwa $AE=-1$ ist), so wird wegen (16)

${\frac {SB}{B}}=EA\qquad$ (bez. $=1$),

und hieraus entnehmen wir mit Rücksicht auf (13) die Gleichung für Ideale

${\frac {S(B{\mathfrak {J}})}{B{\mathfrak {J}}}}=1$,

d. h. $B{\mathfrak {J}}$ ist das Produkt eines ambigen Ideals des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ in ein Ideal des Körpers $k$. Da nun für beide Fälle I, II früher die Gleichung $a^{*}=0$ bewiesen worden ist und folglich alle ambigen Ideale in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ Hauptideale sind, so folgt, daß auch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ einem Ideal des Körpers $k$ äquivalent sein muß. Hiermit ist der Beweis für den Hilfssatz 2 erbracht.

Hilfssatz 3Wenn ${\mathfrak {J}}$ irgendein Ideal in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, so gibt es stets einen ungeraden Exponenten $u$, so daß ${\mathfrak {J}}^{u}$ einem Ideal in $k$ äquivalent ist.

In der Tat, ist $H$ die Klassenanzahl des Körpers $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ und setzen wir $H=2^{a}u$, wo $a$ einen gewissen Exponenten und $u$ eine ungerade Zahl bedeutet, so folgt, daß ${\mathfrak {J}}^{2^{a}u}\sim 1$ sein muß und hieraus schließen wir mit Rücksicht auf Hilfssatz 2 der Reihe nach, daß die Ideale ${\mathfrak {J}}^{2^{a-1}u},{\mathfrak {J}}^{2^{a-2}u},\dots ,{\mathfrak {J}}^{2u},{\mathfrak {J}}^{u}$ gewissen Idealen in $k$ äquivalent ausfallen.

Hilfssatz 4 Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal des Körpers $k$ bedeutet, für welches

$\left({\frac {\omega }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

(17)

ausfällt, so ist ${\mathfrak {p}}$ stets im Körper $k$ ein Hauptideal.

Zum Beweise bedenken wir, daß wegen der Voraussetzung (17) das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ zerlegbar sein muß; wir setzen

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}\cdot S{\mathfrak {P}}$,

wo ${\mathfrak {P}},S{\mathfrak {P}}$ zueinander relativkonjugierte Ideale in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ sind und verstehen dann mit Rücksicht auf Hilfssatz 3 unter $u$ einen solchen ungeraden Potenzexponenten, daß ${\mathfrak {P}}^{u}$ einem Ideal ${\mathfrak {j}}$ in $k$ äquivalent wird. Hieraus folgt offenbar

${\mathfrak {p}}^{u}\sim {\mathfrak {j}}^{2}\sim 1\quad$, d. h. $\quad {\mathfrak {p}}\sim 1$.

§ 11.

Der gewünschte Nachweis für die Existenz der Klassenkörper mit den Eigenschaften 9a, 9b, 9c gelingt mittelst der folgenden Schlüsse. Wir wählen an Stelle der in § 9 bestimmten den Bedingungen (1) genügenden Primideale ${\mathfrak {q}}_{1},\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1}$ irgend ${\frac {m}{2}}+1$ andere zu $2$ prime Primideale ${{\mathfrak {q}}'}_{1},\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ mit den entsprechenden Eigenschaften

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{{\mathfrak {q}}'}_{i}}}\right)=-1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{j}}{{{\mathfrak {q}}'}_{i}}}\right)=+1,\qquad (i\neq j),\qquad \left(i,j=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}+1\right)$

und wählen wiederum die Exponenten ${\omega '}_{1},\dots ,{\omega '}_{{\frac {m}{2}}+1}$ in geeigneter Weise so, daß

${{\mathfrak {q}}'}_{1}{\mathfrak {r}}^{{\omega '}_{1}}=\left({\kappa '}_{1}\right),\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1}{\mathfrak {r}}^{{\omega '}_{{\frac {m}{2}}+1}}=\left({\kappa '}_{{\frac {m}{2}}+1}\right)$

und darin ${\kappa '}_{1},\dots ,{\kappa '}_{{\frac {m}{2}}+1}$ ganze Zahlen in $k$ sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen in § 9 bis § 10 für das neue System von Primidealen ${{\mathfrak {q}}'}_{1},\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1},$ wiederholt. Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck

$\omega '=\varepsilon '{\kappa '}_{1}^{{v'}_{1}}\cdots {\kappa '}_{{\frac {m}{2}}+1}^{{v'}_{{\frac {m}{2}}+1}}$,

(18)

in dem $\varepsilon '$ eine gewisse Einheit in $k$ und ${v'}_{1},\dots ,{v'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Exponenten $0,1$ bedeuten; falls wir wie vorhin annehmen, daß die Exponenten ${v'}_{1},\dots ,{v'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ nicht sämtlich gleich $0$ ausfallen, folgern wir wiederum für den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ die Gültigkeit der Hilfssätze 1 bis 4, und entsprechend dem Hilfssatz 4 ist mithin jedes Primideal ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$, für welches

$\left({\frac {\omega '}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

ausfällt, stets notwendig ein Hauptideal des Körpers $k$.

Wir bezeichnen nun kurz mit ${\mathfrak {w}}_{\omega }$ alle diejenigen Primideale in $k$, für welche

$\left({\frac {\omega }{{\mathfrak {w}}_{\omega }}}\right)=+1$

ist, und mit ${\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}$ diejenigen Primideale in $k$ für welche zugleich

$\left({\frac {\omega }{{\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}}}\right)=-1$ und $\left({\frac {\omega '}{{\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}}}\right)=+1$

ausfällt, ferner mit ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ diejenigen Primideale des Körpers $k$, welche Hauptideale in $k$ sind, dagegen mit ${\mathfrak {w}}^{(-)}$ diejenigen Primideale des Körpers $k$, welche nicht Hauptideale in $k$ sind.

Da die Zahlen $\omega ,\omega '$ sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in $k$ sind und bei unseren Annahmen wegen der Verschiedenheit der Primideale ${\mathfrak {q}}_{1},\dots ,{\mathfrak {q}}_{{\frac {m}{2}}+1},{{\mathfrak {q}}'}_{1},\dots ,{{\mathfrak {q}}'}_{{\frac {m}{2}}+1}$ das Nämliche auch für das Produkt $\omega \omega '$ gilt, so folgen aus Satz 17 meiner Abhandlung die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega })}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega }\right)^{s}}}={\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\omega }(s),\qquad (s>1)\\\sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}\right)^{s}}}={\frac {1}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\omega \omega '}(s);\qquad (s>1)\end{aligned}}\right\}$

(19)

hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale ${\mathfrak {w}}_{\omega }$ bez. ${\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}$ zu erstrecken und $f_{\omega }(s),f_{\omega \omega '}(s)$ bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen $s$, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn ${\displaystyle }$ sich dem Werte $1$ nähert; $n$ bezeichnet stets die Norm im Körper $k$.

Die Primideele ${\mathfrak {w}}_{\omega }$ sind offenbar sämtlich von den Primidealen ${\mathfrak {w_{\omega \omega '}}}$ verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale ${\mathfrak {w}}_{\omega },{\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}$ sämtlich unter den Primidealen ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ vorkommen, so haben wir

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}^{(+)}\right)^{s}}}\geqq \sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega })}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega }\right)^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}_{\omega \omega '}\right)^{s}}}$

$(s>1)$

und folglich wegen (19)

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n\left({\mathfrak {w}}^{(+)}\right)^{s}}}\geqq {\frac {3}{4}}\log {\frac {1}{s-1}}+f_{\omega }(s)+f_{\omega \omega '}(s)$;

(20)

hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.

Die Primideale ${\mathfrak {w}}^{(+)},{\mathfrak {w}}^{(-)}$ erschöpfen offenbar die sämtlichen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$, und es ist daher

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}=\log {\frac {1}{s-1}}+f(s),$

(21)

wo die Summe $\sum _{({\mathfrak {w}})}$ über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll und $f(s)$ wiederum eine für Werte $s>1$, die sich dem Werte $1$ nähern, zwischen endlichen Grenzen bleibende Größe bezeichnet. Aus (20) und (21) zusammen folgt die Ungleichung

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{s}}}\geqq {\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+2f_{\omega }(s)+2f_{\omega \omega '}(s)-f(s).$

(22)

Nunmehr stellen wir folgenden Hilfssatz über die Ideale des Körpers $k$ auf:

Hilfssatz 5 Wenn in dem Ausdrucke

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{s}}}$

$(s>1)$

die erste Summe über alle Primideale ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ und die zweite Summe über alle Primideale ${\mathfrak {w}}^{(-)}$ erstreckt wird, so stellt dieselbe eine solche Funktion der reellen Veränderlichen $s$ dar, welche stets unterhalb einer positiven endlichen Grenze bleibt, wenn die reelle Veränderliche $s$ sich der Grenze $1$ nähert.

Der Beweis dieses Satzes wird durch die nämliche Schlußweise geführt, wie sie beim Beweise des Satzes 31 in meiner Abhandlung angewandt worden ist.

Wir erkennen, daß die Ungleichung (22) unmittelbar einen Widerspruch gegen den Hilfssatz 5 enthält, und mithin ist unsere ursprüngliche Annahme zu verwerfen, d. h. es müssen in der Gleichung (4) die Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ oder das zweitemal in der entsprechenden Gleichung (18) die Exponenten $v'_{1},\dots ,v'_{{\frac {m}{2}}+1}$ sämtlich $0$ sein; in der Zahl $\omega$ bez. $\omega '$ haben wir also eine Zahl des Körpers $k$, welche als Ideal das Quadrat eines Ideals in $k$ darstellt, die überdies kongruent dem Quadrat einer Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ wird und doch nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist.

Der Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ bez. $K\left({\sqrt {\omega '}}\right)$ ist der gesuchte Klassenkörper $Kk$ zum Grundkörper $k$, da er die in Satz 9a ausgesprochene Eigenschaft besitzt. Damit ist die schwierigste Aufgabe in der hier erörterten Theorie gelöst.

§ 12.

Der Beweis für den Satz 9b sowie für die zweite Aussage des Satzes 9c ist aus den bisherigen Entwicklungen leicht zu entnehmen. Nicht so einfach gelingt der Nachweis für die erste Aussage des Satzes 9c, wonach jedes Primideal des Körpers $k$, das in $k$ der Hauptklasse angehört, im Klassenkörper $Kk$, der jetzt $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist, weiter zerlegbar sein muß. Wir führen diesen Nachweis in folgender Weise:

Nach dem in § 11 Bewiesenen ist die Zahl $\omega$ von der Gestalt (4):

$\omega =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\varepsilon _{2}^{u_{2}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}^{u_{{\frac {m}{2}}+1}}$,

wo die Exponenten $u_{1},\dots ,u_{{\frac {m}{2}}+1}$ gewisse Werte $0,1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind: es sei etwa $u_{i}=1$; dann bezeichnen wir die Zahlen $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\dots ,\varepsilon _{i-1},\varepsilon _{i+1},\dots ,\varepsilon _{\frac {m}{2}},\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}$ bez. mit $\varepsilon _{1}^{*},\dots ,\varepsilon _{\frac {m}{2}}^{*}$ und bestimmen ${\frac {m}{2}}$ von ${\mathfrak {r}}$ verschiedene Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{\frac {m}{2}}$ in $k$ derart, daß

$\left({\frac {\varepsilon _{h}^{*}}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right)=-1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{h}^{*}}{{\mathfrak {p}}_{k}}}\right)=+1,\qquad$

$(h\neq k)$

$\left(h,k=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}\right)$

$\left({\frac {\omega }{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right)=+1,\qquad \left(h=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}}\right)$

(23)

wird. Wegen (23) sind nach der zweiten Aussage des Satzes 9c diese Primideale ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{\frac {m}{2}}$ sämtlich Hauptideale in $k$; wir setzen

${\mathfrak {p}}_{1}=(\pi _{1}),\dots ,{\mathfrak {p}}_{\frac {m}{2}}=(\pi _{\frac {m}{2}})$,

wo $\pi _{1},\dots ,\pi _{\frac {m}{2}}$ ganze Zahlen in $k$ bedeuten. Nunmehr wollen wir zeigen, daß ein Ausdruck von der Gestalt

$\omega ^{*}={\varepsilon ^{*}}_{1}^{u_{1}^{*}}\cdots {\varepsilon ^{*}}_{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}^{*}}\pi _{1}^{v_{1}}\cdots \pi _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}},$

(24)

$\left(u_{1}^{*},\dots ,u_{\frac {m}{2}}^{*},v_{1},\dots ,v_{\frac {m}{2}}=0,1\right)$

nur dann eine primäre Zahl in $k$ darstellen kann, wenn die Exponenten $u_{1}^{*},\dots ,u_{\frac {m}{2}}^{*},v_{1},\dots ,v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich den Wert $0$ haben. In der Tat, wäre $\omega ^{*}$ primär und wenigstens einer dieser Exponenten gleich $1$, so beweisen wir wie oben durch Hilfssatz 4, daß alle Primideale in $k$, welche in $K\left({\sqrt {\omega ^{*}}}\right)$ zerlegbar werden, in $k$ Hauptideale sind, d. h. es müßten dann alle Primideale ${\mathfrak {w}}$, nach welchen $\omega ^{*}$ quadratischer Rest ist, Hauptideale in $k$ sein. Die Tatsache, daß zugleich auch alle Primideale ${\mathfrak {w}}$, nach denen $\omega$ quadratischer Rest ist, Hauptideale in $k$ sind, führt uns wie früher in § 11 auf einen Widerspruch.

Aus der soeben erkannten Tatsache, daß der Ausdruck (24) außer der Zahl $1$ niemals eine primäre Zahl darstellen kann, ziehen wir leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren, wie wir es früher angewandt haben, diese Folgerung: wenn $\kappa$ eine beliebige zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ ist, so läßt sich stets ein System von Exponenten $u_{1}^{*},\dots ,u_{\frac {m}{2}}^{*},v_{1},\dots ,v_{\frac {m}{2}}$ finden, derart, daß der Ausdruck

${\kappa \varepsilon ^{*}}_{1}^{u_{1}^{*}}\cdots {\varepsilon ^{*}}_{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}^{*}}\pi _{1}^{v_{1}}\cdots \pi _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}$

(25)

eine primäre Zahl in $k$ darstellt.

Es sei nun ${\mathfrak {q}}$ irgendein Primideal der Hauptklasse in $k$; wir setzen ${\mathfrak {q}}=(\kappa )$, wo $\kappa$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet und nehmen entgegen der zu beweisenden Behauptung an, es sei ${\mathfrak {q}}$ in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ unzerlegbar. Wir bilden für die Zahl $\kappa$ den Ausdruck (25) und bezeichnen denselben mit $\alpha$. Endlich bestimmen wir in $k$ ein von ${\mathfrak {r}}$ verschiedenes Primideal ${\tilde {\mathfrak {r}}}$, welches in $k$ nicht Hauptideal ist, und eine Zahl $\sigma$ in $k$ so daß $\sigma ={\mathfrak {r}}{\tilde {\mathfrak {r}}}$ wird; wir setzen ${\overline {\omega }}={\frac {\omega \sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}$ oder ${\overline {\omega }}=\omega$, je nachdem $\omega$ den Faktor ${\mathfrak {r}}^{2}$ enthält oder nicht.

Da nach Satz 9b der Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ eine ungerade Klassenanzahl besitzt, so gilt mit Rücksicht darauf, daß $\alpha$ primär ist, nach dem in meiner Abhandlung für diesen Fall bewiesenen quadratischen Reziprozitätsgesetz die Formel

$\left\{{\frac {\alpha }{\sqrt {\overline {\omega }}}}\right\}=\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{\alpha }}\right\};$

(26)

hierbei habe die geschwungene Klammer für den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ die entsprechende Bedeutung des quadratischen Restcharakters, wie die gewöhnliche Klammer für den Körper $k$. Das Hauptideal ${\sqrt {\overline {\omega }}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ ist entweder gleich $1$ oder gleich dem Primideal ${\tilde {\mathfrak {r}}}$. Fällt nun $\left({\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=+1$ aus, so ist gewiß auch $\left\{{\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}$. Ist $\left({\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=-1$, so wird wegen $\left({\frac {\omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=-1$ notwendig $\left({\frac {\alpha \omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right)=+1$ und um so mehr $\left\{{\frac {\alpha \omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}=+1$. Andererseits ist wegen $\omega =\left({\sqrt {\omega }}\right)^{2}$ notwendig $\left\{{\frac {\omega }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}=+1$ und folglich auch $\left\{{\frac {\alpha }{\tilde {\mathfrak {r}}}}\right\}=+1$. Wir haben also in jedem Falle gewiß $\left\{{\frac {\alpha }{\sqrt {\overline {\omega }}}}\right\}=+1$ und wegen (26) folgt hieraus

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{\alpha }}\right\}=+1$.

(27)

Wenn $A$ irgendeine ganze zu ${\mathfrak {q}}$ prime Zahl in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ bedeutet, so gelten nach dem Primideal ${\mathfrak {q}}$ des Körpers $k$, das auch in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ Primideal bleiben sollte, folgende Kongruenzen

${\begin{aligned}\left\{{\frac {A}{\mathfrak {q}}}\right\}&\equiv A^{\frac {n({\mathfrak {q}})^{2}-1}{2}},&({\mathfrak {q}})\\\left({\frac {NA}{\mathfrak {q}}}\right)&\equiv (NA)^{\frac {n({\mathfrak {q}})-1}{2}},&({\mathfrak {q}})\end{aligned}}$

und da

$SA\equiv A^{n({\mathfrak {q}})},\quad NA\equiv A^{n(q)+1},\quad ({\mathfrak {q}})$

ausfällt, so wird mithin

$\left\{{\frac {A}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left({\frac {NA}{\mathfrak {q}}}\right)$.

Nehmen wir insbesondere $A={\sqrt {\overline {\omega }}}$, so erhalten wir

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{\kappa }}\right\}=\left({\frac {-{\overline {\omega }}}{\kappa }}\right)$.

(28)

Andererseits ist wegen (23) allgemein das Primideal ${\mathfrak {p}}_{h}$ in $K\left({\sqrt {\overline {\omega }}}\right)$ zerlegbar; wir setzen

${\mathfrak {p}}_{h}={\mathfrak {P}}_{h}\cdot S{\mathfrak {P}}_{h}$,

$(h=1,2,\dots ,{\frac {m}{2}})$

wo ${\mathfrak {P}}_{h}$ ein Primideal in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ bedeutet. Da

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right\}=\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{S{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\},\qquad \left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}=\left\{{\frac {-{\sqrt {\overline {\omega }}}}{S{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}$

wird, so haben wir

$\left\{{\frac {\sqrt {\overline {\omega }}}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right\}=\left\{{\frac {-1}{{\mathfrak {P}}_{h}}}\right\}=\left({\frac {-1}{{\mathfrak {p}}_{h}}}\right)$.

(29)

Wegen (27), (28), (29) ist; mit Rücksicht auf die Bedeutung von $\alpha$

$\left({\frac {-{\overline {\omega }}}{\kappa }}\right)\left({\frac {-1}{\pi _{1}}}\right)^{v_{1}}\dots \left({\frac {-1}{\pi _{\frac {m}{2}}}}\right)^{v_{\frac {m}{2}}}=+1$

und folglich

$\left({\frac {-1}{\alpha }}\right)\left({\frac {\overline {\omega }}{\kappa }}\right)=+1$.

(30)

Da die Zahl $\alpha$ primär ist, d. h. dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ kongruent nach $2^{2}$ ausfällt, so folgt leicht, daß $n(\alpha )\equiv 1$ nach $2^{2}$ und mithin

$\left({\frac {-1}{\alpha }}\right)=(-1)^{\frac {n(\alpha )-1}{2}}=+1$

sein muß; wir erhalten mithin aus (30) die Gleichung

$\left({\frac {\overline {\omega }}{\kappa }}\right)=+1$ und somit auch $\left({\frac {\omega }{\kappa }}\right)=+1$,

welche der Annahme widerspricht wonach ${\mathfrak {q}}$ in $k$ unzerlegber sein sollte; diese Annahme ist somit als unzutreffend erkannt, d. h. jedes Primideal des Körpers $k$, welches der Hauptklasse in $k$ angehört, zerfällt in $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ in das Produkt zweier Primideale, wie Satz 9c in seinem ersten Teile aussagt.

§ 13.

Wir erörtern jetzt die Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste im Körper $k$ unter den besonderen Annahmen $h={\overline {h}}=2$, wie sie in § 8 über den Körper $k$ gemacht worden sind. Der erste Ergänzungssatz läßt sich wieder genau wie früher in der Form des Satzes 1 aussprechen, sobald wir dem Begriff „primäres Ideal“ die folgende engere Fassung geben: wir nennen in dem zugrunde gelegten Körper $k$ ein zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ dann primär wenn für dasselbe

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt — nicht nur für alle Einheiten $\xi$, sondern auch für diejenigen ganzen Zahlen $\xi$ in $k$, die Quadrate von Idealen sind, d. h. wenn

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\qquad \left({\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,\dots ,\left({\frac {\varepsilon _{{\frac {m}{2}}+1}}{\mathfrak {a}}}\right)=+1,$

wird. Indem wir in entsprechender Weise den Begriff eines hyperprimären Ideals in dem zugrunde liegenden Körper $k$ enger fassen, gilt auch der zweite Ergänzungssatz in der früher aufgestellten Form des Satzes 2 und ebenso auch das allgemeine Reziprozitätsgesetz in der Fassung des Satzes 3.

Um den Beweis für diese Reziprozitätsgesetze zu führen, bedenken wir, daß der Klassenkörper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ eine ungerade Klassenanzahl hat. Für einen solchen Körper habe ich das Reziprozitätsgesetz in meiner Abhandlung bereits bewiesen. Aus diesem Reziprozitätsgesetz für den Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ gewinnen wir sodann ohne Schwierigkeit; durch ein geeignetes Schlußverfahren die eben genannten Reziprozitätsgesetze für den Körper $k$.

In meiner Abhandlung habe ich unter den in § 3 der vorliegenden Arbeit gemachten Annahmen gezeigt, wie die Idealklassen eines beliebigen in bezug auf $k$ relativquadratischen Körpers in Geschlechter einzuteilen sind. Unter der gegenwärtigen Annahme $h={\overline {h}}=2$, die wir im § 8 für den Körper $k$ gemacht haben, teilen wir die Idealklassen eines beliebigen relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in bezug auf $k$ auf folgende Weise in Geschlechter ein. Es sei ${\mathfrak {J}}$ ein beliebiges Ideal des relativquadratischen Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$. Wir definieren zunächst wie in dem Falle, den meine Abhandlung betrifft, das Charakterensystem einer Zahl des Körpers $k$. Sodann verstehen wir unter ${\mathfrak {r}}$ ein bestimmtes zu $2$ primes Ideal, welches nicht der Hauptklasse in $k$ angehört, und wählen dann den Exponenten $u=0,1$ derart, daß im Körper $k$ das Produkt der Relativnorm von ${\mathfrak {J}}$ dem Ideal ${\mathfrak {r}}^{u}$ äquivalent wird: es sei etwa

$N\left({\mathfrak {J}}\right){\mathfrak {r}}^{u}=(\iota )$,

wo $\iota$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Endlich bilden wir das Charakterensystem für die Zahl $\iota$ und fügen diesem noch die Einheit $(-1)^{u}$ hinzu. Das so erhaltene System von Einheiten $\pm 1$ heiße das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$. Alle Ideale, die dasselbe Charakterensystem besitzen, bilden ein Geschlecht. Es gilt wiederum der Fundamentalsatz, daß stets genau die Hälfte aller möglichen Charakterensysteme wirklich durch Geschlechter in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vertreten sind.

Wenn für einen Körper $k$ der Wert der Klassenanzahl $h$ im ursprünglichen Sinne und der Klassenanzahl ${\overline {h}}$ im engeren Sinne zusammenfallen und nicht gleich $2$, sondern das Doppelte irgendeiner ungeraden Zahl sind, so bedürfen die in § 8 bis § 13 ausgesprochenen Sätze nur einer geringen und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmenden Abänderung.

§ 14.

Es möge endlich kurz die Annahme behandelt werden, daß der Grundkörper $k$ die Klassenanzahl $h={\overline {h}}=4$ besitzt; wir haben dann zwei Fälle zu unterscheiden:

A. Es gibt eine Klasse $C$ in $k$ derart, daß $C,C^{2},C^{3},C^{4}=1$ die 4 Klassen des Körpers $k$ darstellen.

B. Es gibt zwei Klassen $C_{1},C_{2}$ in $k$ derart, daß $C_{1},C_{2},C_{1}C_{2}=C_{3},C_{1}^{2}=C_{2}^{2}=1$ die 4 Klassen des Körpers $k$ darstellen.

Im Falle A. ist der Klassenkörper $Kk$ des Körpers $k$ relativzyklisch vom Relativgrade 4 in bezug auf $k$ und weist folgende fundamentale Eigenschaften auf:

Satz 11a. Der Klassenkörper $Kk$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$.

Satz 11b. Die Klassenzahl $H,{\overline {H}}$ des Klassenkörpers $Kk$ im ursprünglichen bez. im engeren Sinne ist eine ungerade Zahl. Der Klassenkörper $Kk$ besitzt einen und nur einen relativquadratischen Unterkörper $UKk$. Die Klassenanzahl von $UKk$ ist das Doppelte einer ungeraden Zahl.

Satz 11c. Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, d. h. der Klasse 1 angehören, zerfallen in $Kk$ in das Produkt von 4 Primidealen. Diejenigen Primideale in $k$, welche der Klasse $C^{2}$ angehören, zerfallen in $UKk$ in das Produkt zweier solcher Primideale, die im Körper $Kk$ unzerlegbar bleiben. Diejenigen Primideale in $k$, Welche der Klasse $C$ oder $C^{3}$ angehören, bleiben in $Kk$ unzerlegbar; sämtliche Ideale in $k$ werden in $Kk$ Hauptideale.

Von diesen 3 Eigenschaften 11a, 11b, 11c charakterisiert jede für sich allein bei unserer Annahme über den Körper $k$ in eindeutiger Weise den Klassenkörper $Kk$; wir haben somit insbesondere folgende Sätze:

Satz 12a Wenn ein relativquadratischer Körper die Relativdiskriminante $1$ in bezug auf $k$ besitzt, so stimmt derselbe mit $UKk$ überein. Wenn ein relativ-Abelscher Körper vom Relativgrade 4 in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$ besitzt, so stimmt er mit $Kk$ überein.

Satz 12b Wenn ein relativquadratischer Körper in bezug auf $k$ eine Klassenanzahl besitzt, die das Doppelte einer ungeraden Zahl ist, so stimmt dieser Körper mit $UKk$ überein.

Satz 12c Wenn ein relativ-Abelscher Körper vom Relativgrade 4 in bezug auf $k$ eine ungerade Klassenanzahl besitzt, so stimmt er mit $Kk$ überein.

Im Falle B. ist der Klassenkörper $Kk$ des Körpers $k$ relativ-Abelsch vom Relativgrade 4 und weist folgende fundamentale Eigenschaften auf:

Satz 13a Der Klassenkörper $Kk$ hat in bezug auf $k$ die Relativdiskriminante $1$.

Satz 13b^[6] Die Klassenanzahl des Körpers $Kk$ ist ungerade. Der Klassenkörper $Kk$ besitzt drei relativquadratische Unterkörper $UKk_{1},UKk_{2},UKk_{3}$ in bezug auf $k$. Die Klassenanzahl eines jeden dieser drei Unterkörper ist gleich dem Doppelten einer ungeraden Zahl.

Satz 13c^[6] Diejenigen Primideale in $k$, welche in $k$ Hauptideale sind, d. h. der Klasse 1 angehören, zerfallen in $Kk$ in das Produkt von vier Primidealen. Diejenigen Primideale in $k$, welche der Klasse $C_{1}$, angehören, zerfallen in einem jener drei Unterkörper, etwa in $UKk_{1}$ in das Produkt von zwei Primidealen und sind in jedem der beiden anderen Unterkörper, also in $UKk_{2},UKk_{3}$ unzerlegbar. Diejenigen Primideale in $k$, welche der Klasse $C_{2}$ bez. $C_{3}$ angehören, zerfallen etwa in $UKk_{2}$ bez. $UKk_{3}$ in das Produkt von zwei Primidealen und sind in $UKk_{1},UKk_{3}$ bez. in $UKk_{1},UKk_{2}$ unzerlegbar. Sämtliche Ideale des Körpers $k$ werden in jedem der drei relativquadratischen Körper $UKk_{1},UKk_{2},UKk_{3}$ Hauptideale.

Von diesen Eigenschaften charakterisiert^[6] wiederum jede für sich vollständig den Klassenkörper $Kk$ und die drei Unterkörper $UKk_{1},UKk_{2},UKk_{3}$.

Die eben aufgestellten Sätze 11a, 11b, 11c, 12a, 12b, 12c, 13a, 13b, 13c bestätigen, wie wir leicht erkennen, unter der gegenwärtigen Annahme $h={\overline {h}}=4$ sowohl im Falle A. wie im Falle B. die Gültigkeit der weiter unten in § 16 aufgestellten allgemeinen Sätze 14 und 15.

Zum Beweise der Sätze 11, 12, 13 ist vor allem nötig, zu zeigen, daß für den Grundkörper $k$ bei der gemachten Annahme stets wenigstens ein relativquadratischer Körper mit der Relativdiskriminante $1$ existiert. Sodann hat man in bezug auf diesen noch einen weiteren relativquadratischen Körper mit der Relativdiskriminante $1$ zu konstruieren, was auf Grund des schon bewiesenen Satzes 9a stets möglich ist.

Wenn für einen Körper $k$ der gemeinsame Wert der Klassenanzahl $h$ im ursprünglichen Sinne und der Klassenanzahl ${\overline {h}}$ im engeren Sinne nicht gleich $4$, sondern das Vierfache irgendeiner ungeraden Zahl ist, so bedürfen die hier ausgesprochenen Sätze nur einer geringen und aus meiner Abhandlung leicht zu entnehmenden Abänderung.

§ 15.

Die im vorstehenden bewiesenen und im folgenden Paragraph (§ 16) allgemein ausgesprochenen Sätze zeigen, daß für die vollständige Untersuchung der arithmetischen Eigenschaften eines beliebig vorgelegten Grundkörpers $k$ vor allem die Kenntnis des zu $k$ gehörigen Klassenkörpers $Kk$ erforderlich ist. Unsere Entwicklungen setzen uns nun in den Stand, in jedem besonderen Falle auf arithmetischem Wege den Klassenkörper $Kk$ wirklich zu finden. Im folgenden wollen wir auf eine transzendente Bestimmungsweise des Klassenkörpers hinweisen, die der bekannten von Dirichlet ersonnenen Methode der transzendenten Bestimmung der Klassenanzahl entspricht.

Wir machen für den Grundkörper $k$ die besondere Annahme $h={\overline {h}}=2$ und bezeichnen mit $\kappa$ die in meinem Berichte Über die Theorie der algebraischen Zahlkörper^[7] im § 25 definierte, dem Körper $k$ eigentümliche Zahl; ferner mögen $H$ die Klassenanzahl des Klassenkörpers $Kk$ und ${\mathsf {K}}$ die entsprechend definierte Zahl für den Klassenkörper $Kk$ bezeichnen: dann gilt die folgende Formel

${\underset {s=1}{L}}\left\{\sum _{({\mathfrak {j}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {j}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(-)})^{s}}}\right\}={\frac {H{\mathsf {K}}}{h\kappa }},\qquad (s>1)$

(31)

worin die Summe ${\underset {({\mathfrak {j}}^{(+)})}{\Sigma }}$ über alle Hauptideale ${\mathfrak {j}}^{(+)}$ in $k$ und die Summe ${\underset {({\mathfrak {j}}^{(-)})}{\Sigma }}$ über alle diejenigen Ideale ${\mathfrak {j}}^{(-)}$ erstreckt werden soll, die nicht Hauptideale in $k$ sind. Der Ausdruck ${\mathsf {K}}$ enthält in gewisser Weise die Logarithmen der Einheiten des Klassenkörpers $Kk$, so daß durch denselben die erwünschte Bestimmung des Klassenkörpers ermöglicht ist.

Zum Beweise der Formel (31) betrachten wir das Produkt

$\zeta (s)=\prod _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}})^{-s}}}$,

(32)

in welchem ${\mathfrak {w}}$ alle Primideale des Körpers $k$ durchläuft; dasselbe konvergiert für reelle Werte von $s>1$ und es ist

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)\zeta (s)\right\}=h\kappa$.

(33)

Das entsprechende Produkt für den Körper $Kk$ lautet

$Z(s)=\prod _{({\mathfrak {W}})}{\frac {1}{1-nN({\mathfrak {W}})^{-s}}}$,

$(s>1)$

wo rechter Hand ${\mathfrak {W}}$ alle Primideale von $Kk$ durchläuft und $nN$ die Norm der Relativnorm von ${\mathfrak {W}}$ in $k$, d. h. die Norm in $Kk$ bedeutet. Es ist dann

${\underset {s=1}{L}}\left\{(s-1)Z(s)\right\}=H{\mathsf {K}}$.

(34)

Wir unterscheiden nun unter den Primidealen ${\mathfrak {W}}$ diejenigen, die durch Zerlegung irgendeines Primideals in $k$ entstehen, und diejenigen, die Primideale in $k$ sind. Wegen Satz 9c fällt, für die ersteren $N({\mathfrak {W}})$ gleich einem Primideal ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ der Hauptklasse in $k$ aus; für die letzteren dagegen ist $N({\mathfrak {W}})$ gleich dem Quadrat eines Primideals ${\mathfrak {w}}^{(-)}$ in $k$, welches nicht der Hauptklasse in $k$ angehört. Mit Rücksicht hierauf wird

$Z(s)=\prod _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{(1-n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{-s})^{2}}}\prod _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{-2s}}}$

und hieraus folgt wegen (32)

${\frac {Z(s)}{\zeta (s)}}=\prod _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{-s}}}\prod _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{-s}}}=\sum _{{\mathfrak {j}}^{(+)}}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{{\mathfrak {j}}^{(-)}}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}}^{(-)})^{s}}}$;

diese Gleichung liefert, wenn wir zur Grenze $s=1$ übergehen, mit Rücksicht auf (33), (34) den verlangten Beweis der Formel (31).

§ 16.

Es sei endlich $k$ ein völlig beliebiger Zahlkörper. Wir treffen folgende Festsetzungen, in denen gar keine beschränkende Annahme für $k$ liegt:

1. Unter den $m$ konjugierten Körpern $k,k',k'',\dots ,k^{(m-1)}$ gebe es eine beliebige Anzahl $s$ reeller Körper.

2. Die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k$, im engeren Sinne verstanden, sei eine beliebige Zahl ${\overline {h}}$.

Ein in bezug auf $k$ relativ-Abelscher Körper $K$ heiße unverzweigt, wenn die Relativdiskriminante von $K$ in bezug auf $k$ gleich $1$ ausfällt, oder, was das nämliche bedeutet, wenn es in $k$ kein Primideal gibt, das durch das Quadrat eines Primideals in $K$ teilbar wird. Wir stellen dann folgende Theoreme auf, die im vorstehenden für gewisse besondere Fälle bewiesen worden sind, deren vollständiger Beweis jedoch, wie ich überzeugt bin, auf Grund der von mir angegebenen Methoden gelingen muß:

Satz 14. Es gibt in bezug auf $k$ stets einen völlig bestimmten relativ-Abelschen unverzweigten Körper $Kk$ vom Relativgrade ${\overline {h}}$; dieser Körper $Kk$ heiße der Klassenkörper von $k$. Der Klassenkörper $Kk$ enthält sämtliche in bezug auf $k$ relativ-Abelschen unverzweigten Körper als Unterkörper.

Die Relativgruppe des Klassenkörpers $Kk$ ist mit derjenigen Abelschen Gruppe holoedrisch isomorph, die durch die Zusammensetzung der Idealklassen in $k$ bestimmt wird^[8].

Diejenigen Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$, welche der nämlichen, Idealklasse von $k$, im engeren Sinne verstanden, angehören, erfahren im Klassenkörper $Kk$ eine Zerlegung in Primideale der nämlichen Anzahl und der nämlichen Grade, so daß die weitere Zerlegung eines Primideals ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ im Körper $K$ nur von der Klasse abhängt, der das Primideal ${\mathfrak {p}}$ im Körper $k$ angehört.

Definition 7. Eine ganze Zahl $A$ des Klassenkörpers $Kk$ heiße eine Ambige dieses Körpers $Kk$, wenn sie die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

a) Die ganze Zahl $A$ sei total positiv (vgl. Definition 5); d. h. das durch $A$ dargestellte Ideal gehöre auch im engeren Sinne der Hauptklasse in $k$ an.

b) Jede zu $A$ relativkonjugierte Zahl soll sich von $A$ nur um einen Faktor unterscheiden, welcher eine Einheit in $Kk$ ist.

Eine Ambige heiße eine Primambige, wenn sie nicht eine Einheit ist und sich nicht als ein Produkt von zwei Ambigen darstellen läßt, von denen keine eine Einheit ist.

Satz 15 Jede Ambige des Klassenkörpers $Kk$ stellt eim Ideal des Grundkörpers $k$ dar und umgekehrt jedes Ideal des Grundkörpers $k$ läßt sich durch eine Ambige des Klassenkörpers $Kk$ darstellen; diese ist abgesehen von einem Einheitsfaktor durch jenes Ideal bestimmt.

Jede Ambige des Klassenkörpers $Kk$ ist mithin auf eine und nur auf eine Weise in ein Produkt von Primambigen zerlegbar, wenn man dabei von der Willkür der auftretenden Einheitsfaktoren absieht.

Die in diesem Satze aufgestellte Eigenschaft kommt unter allen relativ-Abelschen Körpern in bezug auf $k$ allein dem Klassenkörper $Kk$ zu^[9].

Das allgemeinste Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste drückt sich auch in dem beliebigen Körper $k$ durch die Formel des Satzes 7 aus. Auch das Reziprozitätsgesetz für höhere Potenzreste gestattet eine ebenso einfache und allgemeingültige Fassung^[10].

Endlich sei noch bemerkt, daß die zugehörige Verallgemeinerung dieser Entwicklungen zur Begründung einer Theorie der „Ringklassenkörper“ führt, d. h. solcher relativ-Abelscher Körper in bezug auf $k$, die zu den Idealklassen eines Ringes in $k$ in einem entsprechenden engen Zusammenhange stehen, wie der hier behandelte Klassenkörper $Kk$ zu den gewöhnlichen Idealklassen des Körpers $k$.

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1. Mit geringen Änderungen abgedruckt aus den Nachrichten der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen 1898.
   Inzwischen sind folgende auf diesen Gegenstand bezügliche Inaugural-Dissertationen in Göttingen erschienen: Das quadratische Reziprozitätsgesetz im quadratischen Zahlkörper mit der Klassenzahl 1. von H. Dörrie 1898, Tafel der Klassenzahlen für kubische Zahlkörper von L. W. Reid 1899, Das allgemeine quadratische Reziprozitätsgesetz in ausgewählten Kreiskörpern der $2^{h}$-ten Einheitswurzeln von K. S. Hilbert 1900, Quadratische Reziprozitätsgesetze in algebraischen Zahlkörpern von G. Rückle 1901. Insbesondere die letzte Dissertation enthält zahlreiche und interessante Beispiele zu der hier entwickelten Theorie.
2. Math. Ann. 51, 1–127 (1899). Dieser Band Abh. 9, S. 370–482.
3. Jber. Mathematiker-Vereinigung 4, 88-94 (1897). Dieser Band Abh. 8, S. 364-369.
4. Vgl. meine Abhandlung Über die Theorie des relativquadratischen Zahlkörpers, Definition 1 und 5. Dieser Band S. 371 und 379.
5. Für $h=1$, ${\overline {h}}=2$ und ${\overline {h}}=4$ wurde diese letzte Behauptung von Ph. Furtwängler bewiesen. Nachrichten der K. Ges. d. Wiss. Göttingen 1906, s. 417—434. [Anm. d. Herausgebers].
6. Die beiden Vermutungen von Satz 13b und der letzte Satz von 13c wurden durch die weitere Entwicklung der Theorie nicht allgemein bestätigt. Der letzte Satz von 13c gilt immer dann, wenn 13b eintrifft. [Anm. d. Herausgeber.]
7. Vgl. Jber. der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 4, 229 (1894-95). Dieser Band S. 115.
8. Man vergleiche hierzu die Untersuchungen von H. Weber: Über Zahlengruppen in algebraischen Körpern, Math. Ann. 48, 433 und 49, 83.
9. In speziellen Fällen auch schon einem echten Unterkörper von $Kk$. [Anm. d. Her.]
10. Vgl. die Preisaufgabe der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen für des Jahr 1901. Math. Ann. 51, 159. Die preisgekrönte Arbeit von Furtwängler erscheint demnächst in den Abhandlungen der K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.phys.Kl. (Neue Folge II, Nr. 3. 1902.)

← 9.II Die Theorie der relativquadratisehen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.

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11. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). →

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