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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 10

Körper in bezug auf $k$ stets die Hälfte aller denkbaren Charakterensysteme wirklich durch Geschlechter vertreten sind. Ich habe in jener Abhandlung zu zeigen versucht, welch ein Reichtum an arithmetischen Wahrheiten in diesen Sätzen enthalten ist; dennoch offenbart sich die volle Bedeutung der genannten Sätze erst, wenn wir ihre Gültigkeit auf beliebige algebraische Grundkörper $k$ ausdehnen. In einem auf der Mathematiker-Vereinigung zu Braunschweig gehaltenen Vortrage^[1] habe ich einige kurze Bemerkungen über den Fall gemacht, daß der Grundkörper $k$ reell ist, bzw. reelle konjugierte Körper aufweist oder die Klassenanzahl $2$ besitzt. In der gegenwärtigen Arbeit beabsichtige ich, die wichtigsten Sätze aus der Theorie der quadratischen Relativkörper innerhalb eines beliebigen Grundkörpers $k$ aufzustellen und zugleich die Abänderung anzugeben, welche die Beweise in meiner zu Anfang genannten Abhandlung erfahren müssen, wenn man für den Grundkörper $k$ die dort gemachten beschränkenden Annahmen beseitigen will.

Endlich habe ich im letzten Paragraph (§ 16) der gegenwärtigen Arbeit für relativ-Abelsche Zahlkörper von beliebigem Relativgrade und mit der Relativdiskriminante $1$ eine Reihe von allgemeinen Sätzen vermutungsweise aufgestellt; es sind dies Sätze von wunderbarer Einfachheit und kristallener Schönheit, deren vollständiger Beweis und gehörige Verallgemeinerung auf den Fall einer beliebigen Relativdiskriminiante mir als das Endziel der rein arithmetischen Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper erscheint.

§ 2.

Es sei $k$ ein beliebiger Zahlkörper; der Grad dieses Körpers $k$ heiße $m$ und die $m-1$ zu $k$ konjugierten Zahlkörper mögen mit $k'$, $k''$, …, $k^{(m-1)}$ bezeichnet werden. Die Anzahl der Idealklassen des Körpers $k$ werde $h$ genannt. Wir übertragen das bekannte Symbol aus der Theorie der rationalen Zahlen auf den hier zu behandelnden Fall, wie folgt^[2]:

Es sei ${\mathfrak {p}}$ ein in $2$ nicht aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und $\alpha$ eine beliebige zu ${\mathfrak {p}}$ prime ganze Zahl in $k$: dann bedeute das Symbol $\textstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)$ den Wert $+1$ oder $-1$, je nachdem $\alpha$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {p}}$ kongruent ist oder nicht. Ist ferner ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges zu $2$ primes Ideal in $k$ und hat man ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}\dots {\mathfrak {w}}$, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {w}}$ Primideale in $k$ sind und ist $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {a}}$ prime ganze Zahl in $k$, so möge das Symbol $\textstyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)$ durch die folgende Gleichung definiert werden:

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)=\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {q}}}\right)\cdots \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {w}}}\right)$.

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1. Jber. Mathematiker-Vereinigung 4, 88-94 (1897). Dieser Band Abh. 8, S. 364-369.
2. Vgl. meine Abhandlung Über die Theorie des relativquadratischen Zahlkörpers, Definition 1 und 5. Dieser Band S. 371 und 379.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 484. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/501&oldid=- (Version vom 31.7.2018)