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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

In gleicher Weise folgt

$\left[{\frac {\delta }{\lambda :\nu }}\right]=\left[{\frac {\nu '\delta '}{\lambda }}\right]$,

und da das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]$ nach Voraussetzung den Wert $+1$ hat, so ist auch

$\left[{\frac {\delta }{\lambda :\nu }}\right]=+1$.

Was endlich den Primkaktor $1+i$ betrifft, so unterscheiden wir bei der folgenden Untersuchung zunächst 4 Hauptfälle:

I.	Weder $\nu$ noch $\delta$ sind durch $1+i$ teilbar.
II.	$\nu$ ist durch $1+i$ teilbar, aber nicht $\delta$.
III.	$\nu$ ist nicht durch $1+i$ teilbar, wohl aber $\delta$.
IV.	Sowohl $\nu$ als auch $\delta$ sind durch $1+i$ teilbar.

Im Hauptfalle I setzen wir $\nu \equiv (t_{\nu }t'_{\nu })$ und $\delta \equiv (t_{\delta }t'_{\delta })$ nach $(1+i)^{4}$ und unterscheiden dann 2 Unterfälle:

1. $t_{v}$, $t'_{v}$ sind beide gerade. Unter dieser Bedingung kommt $1+i$ nicht in der Partialdiskriminante $n$ des Dirichletschen Körpers $K_{\nu }$ vor, und es gibt daher im Körper $K_{\nu }$ kein auf den Faktor $1+i$ bezügliches Symbol.

2. $t_{\nu }$, $t'_{\nu }$ sind nicht beide gleichzeitig gerade. Unter dieser Bedingung kommt $1+i$ in $n$ vor und es ist

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=(-1)^{t_{\delta }t'_{\nu }+t'_{\delta }t_{\nu }}$.

Sind $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ beide gerade, so wird der Wert der rechten Seite $=+1$. Sind $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ nicht beide zugleich gerade, so gibt es im Körper $K_{\delta }$ ein auf $1+i$ bezügliches Symbol, und zwar ist

$\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\nu }t'_{\delta }+t'_{\nu }t_{\delta }}.$

Da dieses Symbol wegen der Voraussetzung den Wert $+1$ hat, so ist auch

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.

Im Hauptfalle II setzen wir $\nu \equiv (1+i)(t_{\nu }t'_{\nu })$ und $\delta \equiv (t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta })$ nach $(1+i)^{5}$ und unterscheiden dann folgende 2 Unterfälle.

1. $t_{\delta }$, $t'_{\delta }$ sind gerade. Unter dieser Bedingung kommt $1+i$ nicht in der Partialdiskriminante $d$ des Körpers $K_{\delta }$ vor. Da nun $\nu$ die Partialnorm eines Ideals in $K_{\delta }$ sein soll, so ist notwendigerweise $1+i$ in 2 Primideale des Körpers $K_{\delta }$ zerlegbar. Die Bedingung hierfür besteht nach § 2 darin, daß $\delta \equiv (000)$ nach $(1+i)^{5}$ ist, und mithin wird

$\left[{\frac {\delta }{1+i:\nu }}\right]=+1$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 33. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/50&oldid=- (Version vom 31.7.2018)