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Wir erkennen wiederum leicht, daß dem soeben definierten Symbol die Eigenschaft

zukommt, wo , beliebige Zahlen des Körpers sind.

Im folgenden werden die sämtlichen in der Partialdiskriminante aufgehenden Primzahlen mit , …, bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl des Körpers die Vorzeichen

, …,

zu, welche das Charakterensystem der Zahl im Dirichletschen Körper heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal in ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir . Dieses Produkt ist gleich einer Zahl in ; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors

, …,

aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die Vorzeichen

, …,

für das Ideal sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa ; wählen wir dann den Wert der Partialnorm derart, daß wird, so sind die Vorzeichen

, …,

sämtlich durch eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals .

Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.

Ist nämlich mit äquivalent, so gibt es in eine ganze oder gebrochene Zahl derart, daß ist. Hieraus folgt und daher wird .

Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 31. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/48&oldid=- (Version vom 31.7.2018)