Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/48

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Wir erkennen wiederum leicht, daß dem soeben definierten Symbol die Eigenschaft

$\left[{\frac {\sigma \sigma '}{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{1+i:\delta }}\right]$

zukommt, wo $\sigma$, $\sigma '$ beliebige Zahlen des Körpers $K$ sind.

Im folgenden werden die sämtlichen $s$ in der Partialdiskriminante $d$ aufgehenden Primzahlen mit $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{s}$ bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl $\sigma$ des Körpers $k$ die $s$ Vorzeichen

$\left[{\frac {\sigma }{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {\sigma }{\lambda _{s}:\delta }}\right]$

zu, welche das Charakterensystem der Zahl $\sigma$ im Dirichletschen Körper $K$ heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal ${\mathfrak {J}}$ in $K$ ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir ${\mathfrak {J}}\cdot S{\mathfrak {J}}$. Dieses Produkt ist gleich einer Zahl $\nu ({\mathfrak {J}})$ in $k$; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals ${\mathfrak {J}}$ genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors $i$

$\left[{\frac {i}{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {i}{\lambda _{s}:\delta }}\right]$

aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die $s$ Vorzeichen

$\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s}:\delta }}\right]$

für das Ideal ${\mathfrak {J}}$ sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser $s$ Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$ genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa $\left[{\frac {i}{\lambda _{s}:\delta }}\right]=-1$; wählen wir dann den Wert der Partialnorm $\nu ({\mathfrak {J}})$ derart, daß $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s}:\delta }}\right]=+1$ wird, so sind die $s-1$ Vorzeichen

$\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{1}:\delta }}\right]$, …, $\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda _{s-1}:\delta }}\right]$

sämtlich durch ${\mathfrak {J}}$ eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$.

Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.

Ist nämlich ${\mathfrak {J}}'$ mit ${\mathfrak {J}}$ äquivalent, so gibt es in $K$ eine ganze oder gebrochene Zahl ${\mathsf {A}}$ derart, daß ${\mathfrak {J}}'={\mathsf {A}}{\mathfrak {J}}$ ist. Hieraus folgt $\nu ({\mathfrak {J}}')=\nu ({\mathsf {A}})\nu ({\mathfrak {J}})$ und daher wird $\textstyle \left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}}')}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\nu ({\mathfrak {J}})}{\lambda :\delta }}\right]$.

Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 31. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/48&oldid=- (Version vom 31.7.2018)