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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

welche in der folgenden Tabelle unter der Rubrik $\alpha$ verzeichnet stehen und deren Exponenten $t$, $t'$, $t''$ den in der letzten Rubrik angegebenen Bedingungen genügen:

$\delta \equiv$	$\alpha \equiv$
$(01)$	$(000),\,(001),\,(010),\,(011)$	$t\,{\mbox{gerade}}$
$(10)$	$(000),\,(001),\,(100),\,(101)$	$t'\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$
$(11)$	$(000),\,(001),\,(110),\,(111)$	$t+t'\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$
$(1+i)(00)$	$(000),\,(011),\,(100),\,(111)$	$t'+t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$
$(1+i)(01)$	$(000),\,(011),\,(101),\,(110)$	$t+t'+t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$
$(1+i)(10)$	$(000),\,(010),\,(100),\,(110)$	$t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$
$(1+i)(11)$	$(000),\,(010),\,(101),\,(111)$	$t+t''\,\color {white}{ge}\color {black}{\prime \prime }\color {white}{de}$

Um die Angaben dieser Tabelle übersichtlich zusammenzufassen, setzen wir $\delta \equiv (t_{\delta }t_{\delta }^{\prime })$ bezüglich $\equiv (1+i)(t_{\delta }t'_{\delta })$ und $\alpha \equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha }t''_{\alpha })$; es bestätigt sich dann leicht, daß die Zahl $\alpha$ dann und nur dann nach $(1+i)^{5}$ einer Partialnorm kongruent ist, sobald die Zahl $t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }$ bezüglich $t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }+t'_{\alpha }+t''_{\alpha }$ gerade ist. Bemerkt sei noch, daß die Zahl $\alpha$, wenn sie dieser Bedingung genügt, zugleich auch nach jeder höheren Potenz von $1+i$ der Partialnorm einer Zahl in $K$ kongruent sein muß.

Wir definieren nun das Symbol $\textstyle \left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]$ zunächst für den Fall, daß $\sigma =\alpha$ eine durch $1+i$ nicht teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch $1+i$ nicht teilbar sind. In diesem Falle nehmen wir $\alpha \equiv (t_{\alpha }t'_{\alpha }t''_{\alpha })$ an und setzen

$\left[{\frac {\alpha }{1+i:\delta }}\right]=(-1)^{t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }}$ bezüglich $=(-1)^{t_{\alpha }t'_{\delta }+t'_{\alpha }t_{\delta }+t'_{\alpha }+t''_{\alpha }}$,

je nachdem $\delta \equiv (t_{\delta }t'_{\delta })$ nach $(1+i)^{4}$ oder $\equiv (1+i)(t_{\delta }t'_{\delta })$ nach $(1+i)^{5}$ wird. Ist ferner $\sigma =\nu$ die Partialnorm einer beliebigen Zahl des Körpers $K$, so setzen wir

$\left[{\frac {\nu }{1+i:\delta }}\right]=+1$.

Um endlich für ein beliebiges $\sigma$ das Symbol zu definieren, benutzen wir die Zerlegung $\sigma =\alpha \nu$, wo $\alpha$ eine nicht durch $1+i$ teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch $1+i$ nicht teilbar sind, und wo $\nu$ eine Partialnorm ist und setzen

$\left[{\frac {\sigma }{1+i:\delta }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{1+i:\delta }}\right]$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 30. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/47&oldid=- (Version vom 31.7.2018)