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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

definiert. Ist ferner $\sigma =\nu$ die Partialnorm einer beliebigen Zahl in $K$, so möge

$\left[{\frac {\nu }{\lambda :\delta }}\right]=+1$

sein. Der zu Anfang dieses Paragraphen bewiesene Satz zeigt, daß diese letztere Festsetzung mit der erst getroffenen Definition vereinbar ist.

Ferner benutzen wir die Tatsache, daß eine jede Zahl $\sigma$ in $k$ gleich dem Produkt zweier Zahlen $\alpha$ und $\nu$ gesetzt werden kann, wo $\alpha$ eine ganze nicht durch $\lambda$ teilbare Zahl in $k$ oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner nicht durch $\lambda$ teilbar sind, und wo $\nu$ die Partialnorm einer Zahl in $K$ ist. Um diese Tatsache zu beweisen, ist es offenbar nur nötig, jene Zerlegung für die Primzahl $\lambda$ auszuführen. Zu dem Zweck wählen wir in $K$ eine durch ${\mathfrak {L}}$, aber nicht durch $\lambda ={\mathfrak {L}}^{2}$ teilbare Zahl ${\mathsf {A}}$, setzen $\nu =\nu ({\mathsf {A}})$ und berücksichtigen dann, daß ${\frac {\lambda }{\nu }}=\alpha$ in die Gestalt eines Bruches gebracht werden kann, dessen Zähler gleich $1$ ist und dessen Nenner eine nicht durch $\lambda$ teilbare Zahl ist. Es folgt somit die gewünschte Zerlegung $\lambda =\alpha \nu$.

Ist die beliebige Zahl $\sigma =\alpha \nu$ auf die beschriebene Weise zerlegt, so definieren wir das allgemeine Symbol durch die Gleichung

$\left[{\frac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]$

und erkennen ohne Schwierigkeit, daß dieses Symbol dadurch eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft

$\left[{\frac {\sigma \sigma '}{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]\left[{\frac {\sigma '}{\lambda :\delta }}\right]$

besitzt, wo $\sigma$, $\sigma '$ beliebige Zahlen des Körpers $k$ sind.

In den Fällen, in welchen $1+i$ in $d$ aufgeht, bedarf es einer genaueren Untersuchung über das Verhalten der Partialnormen und ihrer Reste nach den Potenzen von $1+i$. Um eine übersichtliche Darstellung der in Betracht kommenden Restsysteme zu erhalten, setzen wir

$i'=3+2i$, $i''=1+4i$

und zeigen dann durch eine leichte Rechnung, daß, wenn $t$, $t'$, $t''$ die Werte $0$ oder $1$ annehmen, in der Form $\pm i^{t}i'^{t'}$ sämtliche 8 zu $1+i$ primen Reste nach $(1+i)^{4}$ und in der Form $\pm i^{t}i'^{t'}i''^{t''}$ sämtliche 16 zu $1+i$ primen Reste nach $(1+i)^{5}$ enthalten sind. Wir bezeichnen der Kürze halber die beiden genannten Ausdrücke mit ($tt'$) bezüglich ($tt't''$).

Da im Falle $\delta \equiv (00)$ nach $(1+i)^{4}$ die Partialdiskriminante $d$ nicht durch $1+i$ teilbar ist, so untersuchen wir lediglich die 7 Fälle $\delta \equiv (01)$, $(10)$, $(11)$ nach $(1+i)^{4}$ und $\equiv (1+i)(00)$, $(1+i)(01)$, $(1+i)(10)$, $(1+i)(11)$ nach $(1+i)^{5}$. Die Rechnung zeigt, daß nur diejenigen zu $1+i$ primen Reste von $(1+i)^{5}$ unter den Partialnormen der Zahlen des Körpers $K$ vertreten sind,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 29. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/46&oldid=- (Version vom 31.7.2018)