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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Die gewonnenen Resultate der Zerlegung der Zahlen in $k$ lassen sich übersichtlich zusammenfassen, wenn wir uns eines auch von Dirichlet benutzten Symbols bedienen. Ist nämlich $\alpha$ eine beliebige Zahl und $\tau$ eine Primzahl in $k$, so verstehen wir unter $\textstyle \left[{\tfrac {\alpha }{\tau }}\right]$ die Werte $+1$, $-1$ oder $0$, je nachdem $\alpha$ im Zahlengebiete des Körpers $k$ quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest von $\tau$ oder durch $\tau$ teilbar ist; doch bedeute insbesondere $\left[{\tfrac {\alpha }{1+i}}\right]$ die Werte $+1$, $-1$‚ $0$, je nachdem $\alpha$ quadratischer Rest oder Nichtrest von $(1+i)^{5}$ oder durch $1+i$ teilbar ist. Es gilt dann der Satz:

Die Primzahl $\tau$ des Körpers $k$ ist im Körper $K$ in zwei verschiedene Primideale zerlegbar oder unzerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideale, je nachdem $\left[{\tfrac {d}{\tau }}\right]=+1$‚ $=-1$ oder $0$ ist.

§ 3. Die Einteilung der Idealklassen in Geschlechter.

Wenn ${\mathsf {A}}$ eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl des Körpers $K$ ist, so wird $v({\mathsf {A}})={\mathsf {A}}\cdot S{\mathsf {A}}$ die Partialnorm von ${\mathsf {A}}$ genannt. Diese Partialnorm ist offenbar eine Zahl im Körper $k$. Bedeutet nun $\lambda$ eine von $1+i$ verschiedene in $\delta$ aufgehende Primzahl des Körpers $k$ und ist die Partialnorm $v({\mathsf {A}})$ eine durch $\lambda$ nicht teilbare ganze Zahl oder eine gebrochene Zahl, deren Zähler und Nenner durch $\lambda$ nicht teilbar sind, so wird $v({\mathsf {A}})$ im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen ein quadratischer Rest in bezug auf $\lambda$.

Um dies zu erkennen, setzen wir ${\mathsf {A}}={\tfrac {\alpha +\beta {\sqrt {\delta }}}{\gamma }}$‚ wo $\alpha$‚ $\beta$‚ $\gamma$ ganze imaginäre Zahlen sind. Dann ist $v({\mathsf {A}})={\tfrac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta }{\gamma ^{2}}}$. Enthielte nun $\gamma$ den Primfaktor $\lambda$, so müßte wegen der über $v({\mathsf {A}})$ gemachten Voraussetzung auch $\alpha ^{2}-\beta ^{2}\delta$ durch $\lambda ^{2}$ teilbar sein und folglich enthielten sowohl $\alpha$ wie $\beta$ den Faktor $\lambda$; derselbe ist mithin in Zähler und Nenner des Bruches ${\mathsf {A}}$ hebbar. Hätte andererseits $\alpha$ den Faktor $\lambda$, so müssen wegen der über $v({\mathsf {A}})$ gemachten Voraussetzung notwendig auch $\gamma$ und $\beta$ durch $\lambda$ teilbar sein, und dann ist wiederum der Faktor $\lambda$ in Zähler und Nenner des Bruches ${\mathsf {A}}$ hebbar. Wir können daher annehmen, daß keine der beiden Zahlen $\alpha$ und $\gamma$ den Faktor $\lambda$ enthält. Dann aber folgt $v({\mathsf {A}})\equiv {\tfrac {\alpha ^{2}}{\gamma ^{2}}}$ nach $\lambda$, womit die Behauptung bewiesen worden ist.

Wir führen jetzt das neue Symbol $\left[{\tfrac {\sigma }{\lambda :\delta }}\right]$ ein, wo $\sigma$ eine beliebige Zahl in $k$ und $\lambda$ zunächst eine von $1+i$ verschiedene in $\delta$ aufgehende Primzahl bedeutet. Für den Fall, daß $\sigma =\alpha$ eine durch $\lambda$ nicht teilbare ganze Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch $\lambda$ nicht teilbar sind, wird das Symbol durch die Gleichung

$\left[{\frac {\alpha }{\lambda :\delta }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 28. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/45&oldid=- (Version vom 31.7.2018)