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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

wird. In allen anderen Fällen, nämlich für $\delta \equiv i$ nach $2$ und $\delta \equiv 0$ nach $1+i$ ist $\delta$ quadratischer Nichtrest von $2$. Berücksichtigen wir, daß der nämliche biquadratische Körper $K$ erhalten wird, wenn wir unter dem Wurzelzeichen statt $\delta$ die Zahl $-\delta$ setzen, da ja diese Änderung einer Multiplikation der Wurzel mit $i$ gleichkommt, so können wir offenbar die Zahl $\delta$ stets so annehmen, daß beidemal das obere Vorzeichen zutrifft, d. h. $\delta \equiv 1$ bezüglich $\equiv 3+2i$ nach $4$ wird. Es ergibt sich dann leicht das folgende Resultat:

Die Basis der ganzen Zahlen des Dirichletschen Körpers $K$ besteht aus den Zahlen $1$, $i$, $\Omega$, $i\Omega$, wo $\Omega$ folgende Bedeutung hat:

${\begin{alignedat}{3}{\mbox{für}}\quad &\delta \equiv 1,&(4)\quad &{\mbox{ist:}}\quad &&\Omega ={\frac {1+{\sqrt {\delta }}}{2}},\\{}_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 3+2i,\quad &(4)\quad &\,{}_{\prime \prime }&&\Omega ={\frac {1+{\sqrt {\delta }}}{1+i}},\\{}_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv i,\quad &(2)\quad &\,{}_{\prime \prime }&&\Omega =1+{\sqrt {\delta }},\\{}_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 0,\quad &(1+i)\quad &\,{}_{\prime \prime }&&\Omega ={\sqrt {\delta }}.\end{alignedat}}$

Wir berechnen ferner den Ausdruck $d=(\Omega -S\Omega )^{2}$; derselbe werde die Partialdiskriminante des Körpers $K$ genannt:

${\begin{alignedat}{3}{\mbox{für}}\quad &\delta \equiv 1,&(4)\quad &{\mbox{ist:}}\quad &&d=\delta ,\\{}_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 3+2i,\quad &(4)\quad &\,{}_{\prime \prime }&&d=-2i\delta ,\\{}_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv i,\quad &(2)\quad &\,{}_{\prime \prime }&&d=4\delta ,\\{}_{\prime \prime }\,\quad &\delta \equiv 0,\quad &(1+i)\quad &\,{}_{\prime \prime }&&d=4\delta .\end{alignedat}}$

Die gewöhnliche Diskriminante $D$ des biquadratischen Körpers $K$ ergibt sich gleich $2^{4}|d|^{2}$, wo $|d|$ den absoluten Betrag der Partialdiskriminante $d$ bedeutet.

§ 2. Die Primideale des Dirichletschen Körpers.

Zunächst behandeln wir die von $1+i$ verschiedenen und nicht in $\delta$ aufgehenden Primzahlen des Körpers $k$; es sind unter diesen zwei Arten zu unterscheiden, nämlich erstens die Primzahlen $\pi$, in bezug auf welche $\delta$ im Zahlengebiete des Körpers $k$ quadratischer Rest ist und zweitens diejenigen Primzahlen $\varkappa$, in bezug auf welche $\delta$ quadratischer Nichtrest ist.

Die Primzahlen $\pi$ der ersten Art gestatten eine Zerlegung in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers $K$. Bedeutet nämlich $\eta$ eine Zahl in $k$, welche der Kongruenz $\delta \equiv \eta ^{2}$ nach dem Modul $\pi$ genügt und wendet man eine früher von mir angegebene Bezeichnungsweise^[1] an, der zu Folge (${\mathsf {A}}$, ${\mathsf {B}}$, …) dasjenige Ideal darstellt, welches als der größte gemeinsame Teiler der Zahlen ${\mathsf {A}}$, ${\mathsf {B}}$, … definiert ist, so wird

${\begin{aligned}\left(\pi ,\,\eta +{\sqrt {\delta }}\right)\left(\pi ,\,\eta -{\sqrt {\delta }}\right)&=\left(\pi ^{2},\,\pi \left[\eta +{\sqrt {\delta }}\right],\,\pi \left[\eta -{\sqrt {\delta }}\right],\eta ^{2}-\delta \right)\\&=\left(\pi ,\,\eta ^{2}-\delta \right)=\pi .\end{aligned}}$

1. Math. Ann. 44, 1. (Dieser Band, Abh. 3, S. 6.)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 26. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/43&oldid=- (Version vom 31.7.2018)