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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

Satz 17. (Hilfssatz). Es seien $\alpha _{1}$, ..., $\alpha _{z}$ irgend $z$ ganze Zahlen in $k$, welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ wird; es seien ferner $c_{1}$, ..., $c_{z}$ nach Belieben vorgeschriebene Einheiten $\pm 1$: dann gilt eine Gleichung von der Gestalt

$\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}={\frac {1}{2^{z}}}\log {\frac {1}{s-1}}+f(s)$,   $(s>1)$;

hierbei ist die Summe linker Hand über alle diejenigen Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken, die den Bedingungen

$\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1},\left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{2},\dotsc ,\left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{z}$

genügen und rechter Hand bedeutet $f(s)$ eine Funktion der reellen Veränderlichen $s$, welche sich für $s=1$ einem endlichen Grenzwert nähert.

Beweis. Wir haben

$\left.{\begin{aligned}\log \zeta _{k}(s)=&\sum _{({\mathfrak {p}})}\log {\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}\\=&\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}+\varphi (s),\end{aligned}}\right\}$   $(s>1)$,

wobei die Summen über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ in $k$ zu erstrecken sind und $\varphi (s)$ eine für $s=1$ endlich bleibende Funktion der reellen Veränderlichen $s$ bedeutet. Da andererseits der Ausdruck $(s-1)\zeta _{k}(s)$ für $s=1$ endlich und von $0$ verschieden bleibt, so folgt, daß in der Gleichung

$\sum _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}=\log {\frac {1}{s-1}}+\psi (s)$,   $(s>1)$,

(4)

$\psi (s)$ wiederum eine für $s=1$ endlich bleibende Funktion von $s$ bedeutet.

Wir setzen nun in der über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ zu erstreckenden Summe

$\sum _{({\mathfrak {p}})}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$,   $(s>1)$

(5)

den Wert $\alpha =\alpha _{1}^{u_{1}}\alpha _{2}^{u_{2}}\cdots \alpha _{z}^{u_{z}}$ ein und multiplizieren die so entstehende Gleichung mit dem Faktor $c_{1}^{u_{1}}c_{2}^{u_{2}}\cdots c_{z}^{u_{z}}$. Wir erteilen dann jedem der $z$ Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, ..., $u_{z}$ nacheinander die Werte $0$, $1$, jedoch so, daß das eine Wertsystem $u_{1}=0,u_{2}=0,\dotsc ,u_{z}=0$ ausgeschlossen wird. Nach Satz 16 bleiben die sämtlichen $2^{z}-1$ aus (5) in dieser Weise entstehenden Ausdrücke für $s=1$ endlich. Werden dieselben zu (4) addiert, so erhalten wir daher eine Gleichung von der Form

$\sum _{({\mathfrak {p}})}\left\{1+c_{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\left\{1+c_{2}\left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\cdots \left\{1+c_{z}\left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}{\frac {1}{n({\mathfrak {p}})^{s}}}$

$=\log {\frac {1}{s-1}}+\chi (s)$,

(6)

wo $\chi (s)$ wiederum eine für $s=1$ endlich bleibende Funktion bedeutet.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 392. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/409&oldid=- (Version vom 23.2.2020)