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wobei das erste Produkt über alle Primideale in und das zweite Produkt über alle Primideale in zu erstrecken ist, und wo ferner die Norm von in und die Norm von in bedeutet. Es ist bekannt, daß diese unendlichen Produkte für konvergieren und daß die Grenzausdrücke

,  

endliche und von verschiedene Werte darstellen[1]; hieraus folgt, daß auch der Ausdruck

(1)

einen endlichen von verschiedenen Wert besitzt. Ordnen wir nun das Produkt

(2)

nach den Primidealen des Körpers , aus welchen die Primideale herstammen, so gehört, wenn wir Definition 4 berücksichtigen, zu einem beliebigen Primideale in dem Produkt (2) das Glied

  oder     oder   , (3)

je nachdem

  oder     oder  

ausfällt. Wir können daher die drei Ausdrücke (3) in der gemeinschaftlichen Form

schreiben und erhalten so

und da der Grenzwert (1) endlich und von verschieden ausfällt, so folgt das gleiche für den Grenzwert

,

und hieraus schließen wir, indem wir in bekannter Weise zum Logarithmus übergehen, daß der Ausdruck

einen endlichen Wert besitzt, wie es Satz 16 behauptet.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 391. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/408&oldid=- (Version vom 23.2.2020)
  1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ § 26, dieser Band S. 116.