wobei das erste Produkt über alle Primideale in und das zweite Produkt über alle Primideale in zu erstrecken ist, und wo ferner die Norm von in und die Norm von in bedeutet. Es ist bekannt, daß diese unendlichen Produkte für konvergieren und daß die Grenzausdrücke
,
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endliche und von verschiedene Werte darstellen[1]; hieraus folgt, daß auch der Ausdruck
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(1)
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einen endlichen von verschiedenen Wert besitzt. Ordnen wir nun das Produkt
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(2)
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nach den Primidealen des Körpers , aus welchen die Primideale herstammen, so gehört, wenn wir Definition 4 berücksichtigen, zu einem beliebigen Primideale in dem Produkt (2) das Glied
oder oder ,
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(3)
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je nachdem
oder oder
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ausfällt. Wir können daher die drei Ausdrücke (3) in der gemeinschaftlichen Form
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schreiben und erhalten so
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und da der Grenzwert (1) endlich und von verschieden ausfällt, so folgt das gleiche für den Grenzwert
,
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und hieraus schließen wir, indem wir in bekannter Weise zum Logarithmus übergehen, daß der Ausdruck
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einen endlichen Wert besitzt, wie es Satz 16 behauptet.
- ↑ Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ § 26, dieser Band S. 116.