wobei das erste Produkt über alle Primideale
in
und das zweite Produkt über alle Primideale
in
zu erstrecken ist, und wo ferner
die Norm von
in
und
die Norm von
in
bedeutet. Es ist bekannt, daß diese unendlichen Produkte für
konvergieren und daß die Grenzausdrücke
,
|
|
endliche und von
verschiedene Werte darstellen[1]; hieraus folgt, daß auch der Ausdruck
|
(1)
|
einen endlichen von
verschiedenen Wert besitzt. Ordnen wir nun das Produkt
|
(2)
|
nach den Primidealen
des Körpers
, aus welchen die Primideale
herstammen, so gehört, wenn wir Definition 4 berücksichtigen, zu einem beliebigen Primideale
in dem Produkt (2) das Glied
oder oder ,
|
(3)
|
je nachdem
oder oder
|
|
ausfällt. Wir können daher die drei Ausdrücke (3) in der gemeinschaftlichen Form
|
|
schreiben und erhalten so
|
|
und da der Grenzwert (1) endlich und von
verschieden ausfällt, so folgt das gleiche für den Grenzwert
,
|
|
und hieraus schließen wir, indem wir in bekannter Weise zum Logarithmus übergehen, daß der Ausdruck
|
|
einen endlichen Wert besitzt, wie es Satz 16 behauptet.
- ↑ Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ § 26, dieser Band S. 116.