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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

in $k$; dieser werde das Produkt der Verbände $V$ und $V'$ genannt und mit $VV'$ bezeichnet. Wenn eine Anzahl von Verbänden in $k$ vorgelegt ist, von denen keiner der Hauptverband ist und keiner durch Multiplikation aus den anderen erhalten werden kann, so heißen dieselben von einander unabhängig.

Es mögen die $r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r}$ ein volles System von Grundeinheiten^[1] des Körpers $k$ bilden. Ferner sei $\zeta$ eine Einheitswurzel, welche in $k$ vorkommt, während ${\sqrt {\zeta }}$ nicht in $k$ liegt; wir setzen $\varepsilon _{r+1}=\zeta$ und erkennen dann leicht, daß $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r+1}$ ein System von $r+1$ Einheiten bilden derart, daß überhaupt jede Einheit $\varepsilon$ in $k$ auf eine und nur auf eine Weise sich in der Gestalt

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\varepsilon _{2}^{u_{2}}\cdots \varepsilon _{r+1}^{u_{r+1}}\xi ^{2}$

darstellen läßt, wo die Exponenten $u_{1}$, $u_{2}$, ..., $u_{r+1}$ nur die Werte $0$ oder $1$ annehmen und $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ bedeutet. Es bestimmen also offenbar die Einheiten $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{r+1}$ ein System von $r+1$ unabhängigen Verbänden in $k$, durch deren Multiplikation überhaupt jeder in $k$ vorhandene Verband erhalten werden kann. Der Körper $k$ besitzt, wie wir hieraus schließen, im ganzen genau $2^{r+1}$ verschiedene Einheitenverbände.

§ 12. Die Komplexe des relativquadratischen Körpers $K$.

Definition 8. Ist ${\mathfrak {C}}$ ein Ideal aus einer Idealklasse $C$ des in bezug auf $k$ relativquadratischen Körpers $K$, so werde die durch das relativkonjugierte Ideal $S{\mathfrak {C}}$ bestimmte Idealklasse mit $SC$ bezeichnet und die zu $C$ relativkonjugierte Klasse genannt. Eine Idealklasse $A$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ heiße eine ambige Klasse, wenn sie ihrer relativkonjugierten Klasse $SA$ gleich wird, wenn also

$A=SA$

ist.

Insbesondere ist offenbar jede Klasse des Körpers $K$ ambig, welche ein ambiges Ideal des Körpers $K$ enthält; doch kann es, wie später gezeigt werden wird, sehr wohl ambige Klassen in $K$ geben, welche kein ambiges Ideal enthalten.

Das Quadrat einer ambigen Klasse $A$ ist stets eine solche Klasse in $K$, welche unter ihren Idealen sicher auch in $k$ liegende Ideale enthält; dies folgt leicht aus der Gleichung $A^{2}=A\cdot SA$.

Definition 9. Ist $C$ eine beliebige Klasse in $K$, so nenne ich das System aller Klassen von der Form $cC$, wo $c$ die Klassen des Körpers $k$ durchläuft, einen Komplex des Körpers $K$. Der Komplex der aus den sämtlichen Klassen $c$ in $k$ besteht, heiße der Hauptkomplex des Körpers $K$ und werde mit $1$ bezeichnet.

Wenn $P$ und $P'$ zwei beliebige Komplexe sind und jede Klasse in $P$ mit jeder Klasse in $P'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 389. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/406&oldid=- (Version vom 23.2.2020)

1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“, dieser Band S. 102 und S. 108.