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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

§ 10. Die Anzahl der Normenreste nach einem nicht in $2$ aufgehenden Primideal.

Satz 15. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$ ist, das nicht in der Relativdiskriminante des relativquadratischen Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht, so ist jede zu ${\mathfrak {p}}$ prime Zahl $\nu$ Normenrest des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Wenn dagegen ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal des Körpers $k$ ist, das in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgeht und wenn $e$ ein beliebiger positiver Exponent bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu ${\mathfrak {p}}$ primen und nach ${\mathfrak {p}}^{e}$ einander inkongruenten Zahlen in $k$ genau die Hälfte Normenreste des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

Beweis. Es gehe ${\mathfrak {p}}$ in $\mu$ genau zur $a$-ten Potenz auf. Soll zunächst ${\mathfrak {p}}$ zur Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ prim ausfallen, so muß nach Satz 4 $a$ eine gerade Zahl sein; da ferner nach Voraussetzung $\nu$ zu ${\mathfrak {p}}$ prim ist, so können wir bei Anwendung des Satzes 13 zur Bestimmung des Symbols $\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)$ einfach $\varrho =\nu ^{a}$ und $\sigma =1$ setzen und erhalten dann

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{a}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

womit der erste Teil des Satzes 15 bewiesen ist.

Soll andererseits ${\mathfrak {p}}$ in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehen, so ist nach Satz 4 der Exponent $a$ eine ungerade Zahl; mithin haben wir nach Satz 13

$\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu ^{a}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\nu }{\mathfrak {p}}}\right)$,

woraus leicht mit Rücksicht auf Satz 2 der zweite Teil des Satzes 15 zu entnehmen ist.

An späterer Stelle werden wir erkennen, daß dieser Satz 15 ebenso wie Satz 14 auch für jedes in $2$ aufgehende Primideal gilt; doch bietet der Nachweis hierfür erheblich größere Schwierigkeiten. Wir werden dann auf die Bedeutung hinweisen, die diesem Satz 15 und seiner Verallgemeinerung auf beliebige Primideale für unsere Theorie zukommt.

§ 11. Die Einheitenverbände des Körpers $k$.

Definition 7. Wenn $\varepsilon$ eine Einheit des Körpers $k$ ist, so heißt das System aller Einheiten von der Form $\epsilon \xi ^{2}$ wo $\xi$ alle Einheiten des Körpers $k$ durchläuft, ein Verband von Einheiten oder ein Einheitenverband des Körpers $k$. Der durch die Einheit $\varepsilon =1$ bestimmte Einheitenverband, d. h. derjenige Verband, welcher die Quadrate aller Einheiten des Körpers enthält, heiße der Hauptverband und werde mit $1$ bezeichnet. Wenn $V$, $V'$ zwei beliebige Verbände von Einheiten in $k$ sind und jede Einheit in $V$ mit jeder Einheit in $V'$ multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Verband von Einheiten

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 388. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/405&oldid=- (Version vom 23.2.2020)